Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 3: Nguyên hàm- Tích phân- Ứng dụng (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 3: Nguyên hàm- Tích phân- Ứng dụng (Có đáp án)

1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi S t là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y , y 0, x 0 , x t (t 0) . Tìm lim S t . x 1 x 2 2 t 1 1 1 1 A. ln 2 . B. ln 2 . C. ln 2 . D. ln 2 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1: 1 a bx c *Tìm a,b,c sao cho x 1 x 2 2 x 1 (x 2)2 2 1 a x 2 bx c x 1 1 ax2 4ax 4a bx2 bx cx c a b 0 a 1 1 a b x2 4a b c x 4a c 4a b c 0 b 1 . 4a c 1 c 3 1 *Vì trên 0;t, y 0 nên ta có: x 1 x 2 2 t 1 t 1 x 3 Diện tích hình phẳng: S t dx dx 2 x 1 2 0 x 1 x 2 0 x 2 t t 1 1 1 x 1 1 2 dx ln x 1 x 2 x 2 x 2 0 x 2 0 t 1 1 1 ln ln 2 . t 2 t 2 2 t 1 t 1 1 *Vì lim 1 lim ln 0 và lim 0 t t 2 t t 2 t t 2 t 1 1 1 1 Nên lim S t lim ln ln 2 ln 2 . t t t 2 t 2 2 2 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.
2. t 1 Diện tích hình phẳng: S t dx 2 0 x 1 x 2 100 1 Cho t 100 ta bấm máy dx 0,193 2 0 x 1 x 2 Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B. 1 sin x Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích phân I dx và J dx 0 1 tan x 0 cosx sin x với 0; , khẳng định sai là 4 cos x A. I dx .B. I J ln sin cos . 0 cosx sin x C. I ln 1 tan .D. I J . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 cos Ta có nên A đúng. sin 1 tan 1 cos sin cos cos x sin x d cos x sin x I J dx ln cos x sin x ln cos sin 0 B đúng 0 cos x sin x 0 cos x sin x I J dx x 0 D đúng. 0 x Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f x 4t3 8t dt . Gọi m, M lần lượt là 1 giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0;6. Tính M m . A. 18 B. 12C. 16 D. 9 Hướng dẫn giải x x f x 4t3 8t dt t 4 4t 2 x2 4x 3 , với x 0 . 1 1 f x 2x 4; f x 0 x 2 1;6 . f 0 3; f 2 1; f 6 15 . Suy ra M 15,m 1 . Suy ra M m 16 .
3. Đáp án: C. a b 2017 1 x 1 x Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử x 1 x dx C với a,b là a b các số nguyên dương. Tính 2a b bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Hướng dẫn giải Ta có: 2018 2019 2017 2017 2017 2018 1 x 1 x x 1 x dx x 1 1 1 x dx 1 x 1 x dx C 2018 2019 Vậy a 2019,b 2018 2a b 2020 . Chọn D. 1 Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và ex 3 1 F 0 ln 4 . Tập nghiệm S của phương trình 3F x ln x3 3 2 là: 3 A. S 2 .B. S 2;2. C. S 1;2 . D. S 2;1. Hướng dẫn giải dx 1 ex 1 F x 1 dx x ln ex 3 C Ta có: x x . e 3 3 e 3 3 1 1 Do F 0 ln 4 nênC 0 . Vậy F x x ln ex 3 . 3 3 Do đó: 3F x ln ex 3 2 x 2 Chọn A. Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn 2;6 và 3 6 6 thỏa mãn f (x)dx 3; f (x)dx 7; g(x)dx 5 . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng. 2 3 3 6 3 A. [3g(x) f (x)]dx 8 B. [3 f (x) 4]dx 5 3 2 ln e6 ln e6 C. [2f (x) 1]dx 16 D. [4 f (x) 2g(x)]dx 16 2 3 Hướng dẫn giải
4. 3 6 6 f (x)dx f (x)dx f(x)dx 10 2 3 2 6 6 6 Ta có: [3g(x) f (x)]dx 3 g(x)dx f (x)dx 15 7 8 nên A đúng 3 3 3 3 3 3 [3 f (x) 4]dx 3 f(x)dx 4 dx 9 4 5 nên B đúng 2 2 2 ln e6 6 6 6 [2f (x) 1]dx [2f (x) 1]dx 2 f(x)dx 1 dx 20 4 16 nên C đúng 2 2 2 2 ln e6 6 6 6 [4f (x) 2g(x)]dx [4f (x) 2g(x)]dx 4 f(x)dx 2 g(x)dx 28 10 18 3 3 3 3 Nên D sai Chọn đáp án D Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C . Khi đó a b c d bằng A. -2B. 3C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có e2x (2x3 5x2 2x 4)dx (ax3 bx2 cx d)e2x C nên (ax3 bx2 cx d)e2x C ' (3ax2 2bx c)e2x 2e2x (ax3 bx2 cx d) 2ax3 (3a 2b)x2 (2b 2c)x c 2d e2x (2x3 5x2 2x 4)e2x 2a 2 a 1 3a 2b 5 b 1 Do đó . Vậy a b c d 3 . 2b 2c 2 c 2 c 2d 4 d 3 5 Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết f (x)dx 15 . Tính giá trị của 1 2 P [f (5 3x) 7]dx 0 A. P 15 B. P 37 C. P 27 D. P 19 Hướng dẫn giải
5. dt t 5 3x dx 3 Để tỉnh P ta đặt x 0 t 5 nên x 2 t 1 1 dt 1 5 1 5 5 P [f (t) 7]( ) [f (t) 7]dt f (t)dt 7 dt 5 3 3 1 3 1 1 1 1 .15 .7.(6) 19 3 3 chọn đáp án D Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f x asin 2x bcos 2x thỏa mãn b f ' 2 và adx 3 . Tính tổng a b bằng: 2 a A.3. B. 4. C.5. D.8. Hướng dẫn giải Chọn C. f ' x 2a cos 2x 2bsin 2x f ' 2 2a 2 a 1 2 b b adx dx 3 b 1 3 b 4 a 1 Vậy a b 1 4 5. ln 2 1 1 5 x dx lna 2 bln 2 cln . Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: x Trong đó 0 2e 1 2 3 a,b,c là những số nguyên. Khi đó S a b c bằng: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C. ln 2 1 ln 2 ln 2 1 x dx xdx dx x x . 0 2e 1 0 0 2e 1 ln 2 ln 2 x2 ln2 2 Tính xdx 0 2 0 2 ln 2 1 dx Tính x 0 2e 1 dt Đặt t 2ex 1 dt 2exdx dx . Đổi cận : x ln 2 t 5, x 0 t 3. t 1
6. ln 2 5 5 1 dt 1 1 5 5 dx dt ln t 1 ln t ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln . x 3 0 2e 1 3 t t 1 3 t 1 t 3 ln 2 1 1 5 x dx ln2 2 ln 2 ln a 2,b 1,c 1 x 0 2e 1 2 3 Vậy a b c 4 . Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C của hàm số 1 y x2 4x 3 và hai tiếp tuyến của C xuất phát từ M 3; 2 là 2 8 5 13 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có y 2x 4 x 2. 2 1 2 Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, y0 x0 4x0 3 và y x0 x0 2. 2 Phương trình của tiếp tuyến của C tại điểm có tọa độ x0 ; y0 là 1 2 y x0 2 x x0 x0 4x0 3 2 Vì tiếp tuyến đi qua điểm M 3; 2 nên 1 2 x0 1 y x 1 2 x0 2 3 x0 x0 4x0 3 2 x0 5 y 3x 11 Diện tích hình phẳng cần tìm 3 1 5 1 8 S x2 4x 3 x 1 dx x2 4x 3 3x 11 dx 1 2 3 2 3 4 x Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân dx a bln 2 , với a , b là các số thực . 0 1 cos2x Tính 16a 8b A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A
7. u x du dx Đặt dx 1 . Ta có dv v tan x 1 cos 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 I x tan x 4 4 tan xdx ln cos x 4 ln ln 2 a ,b 2 2 0 8 2 8 2 8 4 8 4 0 0 2 Do đó, 16a 8b 4 . 1 5 3 5 Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử f x dx 3 và f z dz 9 . Tổng f t dt f t dt 0 0 1 3 bằng A. 12. B. 5. C. 6. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 5 5 Ta có f x dx 3 f t dt 3 ; f z dz 9 f t dt 9 0 0 0 0 5 1 3 5 3 5 9 f t dt f t dt f t dt f t dt 3 f t dt f t dt 0 0 1 3 1 3 3 5 f t dt f t dt 6. 1 3 ln 2 e2x 1 1 a dx e a.b Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân x . Tính tích . 0 e b A. 1. B. 2. C. 6. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn B. ln 2 e2x 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 dx ex 1dx e xdx ex 1d x 1 e xd x x 0 e 0 0 0 0 ln 2 x 1 x ln 2 1 1 e e 2e e 1 e a 1,b 2 ab 2 . 0 0 2 2 3 sin x 3 3 2 Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết dx c d 3 với a, b, c, d 6 3 1 x x a b 3 là các số nguyên. Tính a b c d . A. a b c d 28 . B. a b c d 16. C. a b c d 14. D. a b c d 22 .
8. Hướng dẫn giải Chọn A. 6 3 3 sin x 3 1 x x sin x 3 I dx dx 1 x6 x3 sin xdx . 6 3 6 6 1 x x 1 x x 3 3 3 x t 3 3 Đặt t x dt dx . Đổi cận . x t 3 3 3 3 3 I 1 t 6 t3 sin t dt 1 t 6 t3 sin tdt 1 x6 x3 sin xdx 3 3 3 3 3 Suy ra 2I 2x3 sin x dx I x3 sin xdx . 3 3 x3 (+) sin x 3x2 (–) cos x 6x (+) sin x 6 (–) cos x 0 sin x 3 2 3 2 3 3 I x sin x 3x cos x 6xsin x 6sin x 2 6 3 3 27 3 Suy ra: a 27, b 3, c 2, d 6 . Vậy a b c d 28 . Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn ;2 thỏa mãn 4 a sin x 2 dx . 0 1 3cos x 3 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t 1 3cos x t 2 1 3cos x 2tdt 3sin xdx. Đổi cận: + Với x 0 t 2 + Với x a t 1 3cos a A.
9. a sin x 2 2 2 2 2 2 Khi đó dx dt t 2 A A 1 1 3cos a 1 cos a 0 0 1 3cos x A 3 3 A 3 3 1 3 k 0 a k k ¢ . Do a ;2 k 2 k . 2 4 4 2 4 2 k 1 Bình luận: Khi cho a thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác 2 định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận a . 2 Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: y 2x , y x 3 và y 1 là: 1 1 1 47 1 A. S . B. S 1. C. S . D. S 3 . ln 2 2 ln 2 50 ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có: • 2x x 3 x 1 • 2x 1 x 0 • x 3 1 x 2 1 2 1 2 x 2 x 2 x 1 1 Diện tích cần tìm là: S 2 1 dx x 3 1 dx x 2x ln 2 2 ln 2 2 0 1 0 1 a 2 Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có bao nhiêu số a 0;20 sao cho sin5 xsin 2xdx . 0 7 A. 20 .B. 19. C.9 .D. 10. Hướng dẫn giải Chọn D
10. a a a 2 2 2 sin5 xsin 2xdx 2 sin6 xcos xdx 2 sin6 xd sin x sin7 x a sin7 a . Ta có 0 0 0 0 7 7 7 Do đó sin7 a 1 sin a 1 a k2 . Vì a 0;20 nên 2 1 0 k2 20 k 10 và k ¢ nên có 10 giá trị của k 2 2 n 1 1 Câu 19: (THTT – 477) Giá trị của lim dx bằng n x n 1 e A. 1. B. 1. C. e. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D. n 1 1 I dx Ta có: x n 1 e Đặt t 1 ex dt exdx . Đổi cận: Khi x n t 1 en ; x n 1 t 1 en 1 1 en 1 1 en 1 n 1 1 1 1 en 1 1 e Khi đó: I dt dt ln t 1 ln t 1 ln 1 en n 1 1 en t t 1 1 en t 1 t 1 e n 1 n 1 1 e e 1 1 Mà n 1 n khi n , Do đó, lim I 1 ln 0 1 e 1 e n e e e 6 1 Câu 20: (THTT – 477) Nếu sinn x cos xdx thì n bằng 0 64 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận: khi x 0 t 0; x t 6 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n t 1 1 1 Khi đó: I t dt . . 0 n 1 0 n 1 2 64 n 1 1 n 1 Suy ra có nghiệm duy nhất n 3 (tính đơn điệu). 2 64 Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d, a,b,c ¡ ,a 0 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y f x cho bởi hình vẽ dưới đây:
11. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục hoành. 27 21 5 A. S 9 . B. S .C. .D. . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Từ đồ thị suy ra f x 3x 3 . f x f x dx 3x2 3 dx x3 3x C . Do C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ x0 âm nên 2 f x0 0 3x0 3 0 x0 1. 3 Suy ra f 1 4 C 2 C : y x 3x 2 3 x 2 Xét phương trình x 3x 2 0 . x 1 1 3 27 Diện tích hình phẳng cần tìm là: x 3x 2 dx . 2 4 Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho y f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6. Biết rằng 2 3 6 f x dx 8 và f 2x dx 3 . Tính I f x dx 1 1 1 A.I 11. B.I 5. C.I 2. D. I 14. Hướng dẫn giải Chọn D. a 2 2 Vì f x là hàm số chẵn nên f x dx 0 f x dx f x dx 8 a 1 1
12. 3 3 f 2x dx f 2x dx 3 1 1 3 Xét tích phân K f 2x dx 3 1 du Đặt u 2x du 2dx dx 2 Đổi cận: x 1 u 2; x 3 u 6 . 1 6 1 6 6 K f u du f x dx 3 f x dx 6 2 2 2 2 2 6 6 2 6 Vậy I f x dx f x dx f x dx f x dx 8 6 14. 1 1 1 2 1 a b b c Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng 3e 1 3x dx e2 e c a,b,c ¡ . Tính T a . 0 5 3 2 3 A.T 6. B.T 9. C.T 10. D.T 5. Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt t 1 3x t 2 1 3x 2tdt 3dx Đổi cận: + x 0 t 1 + x 1 t 2 1 2 2 2 2 2 3e 1 3x dx 2 tet dt 2 tet et dt 2 tet et 2 2e2 e e2 e 2e2. 0 1 1 1 1 1 a 10 T 10 nên câu C đúng. b c 0 Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ dưới đây).
13. Giả sử SD là diện tích hình phẳng D . Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b 0 b S f x dx f x dx S f x dx f x dx A. D . B. D . a 0 a 0 0 b 0 b S f x dx f x dx S f x dx f x dx C. D .D. D . a 0 a 0 Hướng dẫn giải Chọn B. + Nhìn đồ thị ta thấy: • Đồ thị (C) cắt trục hoành tại O 0;0 • Trên đoạn a;0 , đồ thị (C) ở dưới trục hoành nên f x f x • Trên đoạn 0;b, đồ thị C ở trên trục hoành nên f x f x b 0 b 0 b S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + Do đó: D a a 0 a 0 5 2 x 2 1 Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết I dx 4 a ln 2 bln 5 , với a,b là 1 x các số nguyên. Tính S a b. A. S 9. B. S 11. C. S 5. D. S 3. Hướng dẫn giải Chọn B. 5 2 x 2 1 2 2 x 2 1 5 2 x 2 1 Ta có: I dx dx dx 1 x 1 x 2 x 2 5 2 2 x 1 2 x 2 1 2 5 2x 5 2x 3 dx dx dx dx 1 2 1 x 2 x x x
14. 2 5 5 3 2 5 x dx 2 dx 5ln x x 2x 3ln x 1 x 2 x 1 2 a 8 8ln 2 3ln 5 4 a b 11. b 3 4 a Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết I x ln 2x 1 dx ln 3 c, trong đó a, b, c là các số 0 b b nguyên dương và là phân số tối giản. Tính S a b c. c A. S 60. B. S 70. C. S 72. D. S 68. Hướng dẫn giải Chọn B. 4 Ta có I x ln 2x 1 dx 0 2 du dx u ln 2x 1 2x 1 Đặt dv xdx x2 v 2 4 4 x2 ln 2x 1 4 x2 I x ln 2x 1 dx dx 2 2x 1 0 0 0 4 4 x 1 1 x2 1 1 63 8ln 9 dx 16ln 3 x ln 2x 1 ln 3 3 2 4 4 2x 1 4 4 8 4 0 0 a 63 a 63 ln 3 c ln 3 3 b 4 S 70 . b 4 c 3 Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 1 và y k,0 k 1. Tìm k để diện tích của hình phẳng H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. k 3 4. B. k 3 2 1. 1 C. k . 2 D. k 3 4 1. Hướng dẫn giải Chọn D. Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 1 x2 , y k, x 0 bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y 1 x2 , y x2 1, y k, x 0. 1 k 1 1 k 1 1 x2 k dx k 1 x2 dx k x2 1 dx 1 k 1 k 1 k 1 k 0 1 k 1 3 1 1 1 1 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 3 3 3 3 2 4 3 1 k 1 k 1 k 2 k 3 4 1. 3 3 Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y f (x) có đồ thị y f (x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f (c) f (a) f (b). B. f (c) f (b) f (a). C. f (a) f (b) f (c). D. f (b) f (a) f (c). Hướng dẫn giải Chọn A. Đồ thị của hàm số y f (x) liên tục trên các đoạn a;b và b;c , lại có f (x) là một nguyên hàm của f (x) . y f (x) y 0 Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: là: x a x b
16. b b b S f (x)dx f (x)dx f x f a f b . 1 a a a Vì S1 0 f a f b 1 y f (x) y 0 Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: là: x b x c c c c S f (x)dx f (x)dx f x f c f b . 2 b b b S2 0 f c f b 2 . Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1 S2 f a f b f c f b f a f c 3 . Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A. (có thể so sánh f a với f b dựa vào dấu của f (x) trên đoạn a;b và so sánh f b với f c dựa vào dấu của f (x) trên đoạn b;c ). Câu 29: Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 3 quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. 7 7 A.V = 2p. B.V = p. C.V = p. D.V = p. 4 8 Hướng dẫn giải Đáp án A SABC = 3 Þ AB = BC = CA = 2. Chọn hệ trục vuông góc Oxy sao choO (0;0),A(1;0),B (0;- 3) với O là trung điểmAC . Phương trình đường thẳng AB là y = 3(x - 1), thể tích khối tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùngOx ) tính bởi 1 V ¢= pò 3(x - 1)dx = p . Vậy thể tích cần tìm 0 V = 2V ¢= 2p .
17. p 2 2x- 1.cosx dx Câu 30: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của ò x p 1+ 2 - 2 1 A. .B. 0.C. 2.D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn A. p p p - 2 2x- 1 cosx 2 2x cosx 2 2x cosx Ta có: dx = dx - dx 1 ò x ò x ò x ( ) p 1+ 2 0 1+ 2 .2 0 1+ 2 .2 - ( ) ( ) 2 p p Đặt x = - t ta có x = 0 thì t = 0, x = - thì t = và dx = - dt 2 2 p p p p - t 2 2x cosx 2 2 cos(- t ) 2 cost 2 cosx dx = d - t = - dt = - dx ò x ò - t ( ) ò t ò x 0 (1+ 2 ).2 0 (1+ 2 ).2 0 (1+ 2 ).2 0 (1+ 2 ).2 Thay vào (1) có p p p 2 2x- 1 cosx 2 2x cosx 2 cosx dx = dx + dx ò x ò x ò x p 1+ 2 0 1+ 2 .2 0 1+ 2 .2 - ( ) ( ) 2 p p p x 2 (1+ 2 )cosx 2 cosx sin x 2 1 = dx = dx = = ò x ò 2 2 2 0 (1+ 2 ).2 0 0 p 2 2x- 1 cosx 1 Vậy dx = ò x 2 p 1+ 2 - 2 Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa: 3 3 3 f x 3g x dx 10 . 2 f x g x dx 6 . Tính f x g x dx . 1 1 1 A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn C. 3 3 3 • Ta có f x 3g x dx 10 f x dx 3 g x dx 10 . 1 1 1
18. 3 3 3 • Tương tự 2 f x g x dx 6 2 f x dx g x dx 6 . 1 1 1 u 3v 10 u 4 3 3 • Xét hệ phương trình , trong đó u f x dx , v g x dx . 2u v 6 v 2 1 1 3 3 3 • Khi đó f x g x dx f x dx g x dx 4 2 6 . 1 1 1 Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) : x2 (y 3)2 1 xung quanh trục hoành là A. V 6 . B. V 6 3 . C. V 3 2 . D. V 6 2 . Hướng dẫn giải ChọnD. x2 (y 3)2 1 y 3 1 x2 . 1 2 2 1 2 2 2 V 3 1 x 3 1 x dx 12 1 x dx . 1 1 x 1 t 2 Đặt x sin t dx cost.dt . Với . x 11 t 2 2 2 V 12 1 sin2 t.costdt 12 cos2 tdt 6 2 . 2 2 Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho E có phương trình x2 y2 1, a,b 0 và đường tròn C : x2 y2 7. Để diện tích elip E gấp 7 lần a2 b2 diện tích hình tròn C khi đó A. ab 7 .B. ab 7 7 .C. ab 7 .D. ab 49 . Hướng dẫn giải Chọn D. x2 y2 b 1, a,b 0 y a2 x2 . a2 b2 a a b a2 x2 dx b a Diện tích E làS 4 4 a2 x2 dx E 0 a a 0 Đặt x asin t, t ; dx acos tdt . 2 2
19. Đổi cận: x 0 t 0; x a t 2 b a a S 4 a2 .cos2tdt 2ab 1+cos2t dt ab E a 0 0 2 Mà ta có S C π.R 7π. Theo giả thiết ta có S E 7.S C ab 49 ab 49. 1 2017 b Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân x.ln 2x 1 dx a ln 3 . Với phân 0 c b số tối giản. Lúc đó c A.b c 6057. B.b c 6059. C.b c 6058. D.b c 6056. Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 2017 Ta có I x.ln 2x 1 dx 2017 x.ln 2x 1 dx . 0 0 2 du dx u ln 2x 1 2x 1 Đặt dv xdx x2 1 v 2 8 1 1 x2 1 1 x2 1 2 Do đó x.ln 2x 1 dx ln 2x 1 dx 2 8 2 8 2x 1 0 0 0 1 3 x2 x 3 ln 3 ln 3 8 4 8 0 1 2017 3 6051 I x.ln 2x 1 dx 2017 ln 3 ln 3. 0 8 8 Khi đó b c 6059. Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2my x2 , 1 mx y2 , m 0 . Tìm giá trị của m để S 3. 2 3 1 A. m . B. m 2. C. m 3. D. m . 2 2 Hướng dẫn giải
20. Chọn A. 1 Ta có 2my x2 y x2 0 (do m 0 ). 2m 1 y 2mx 0 và mx y2 y2 2mx . 2 y 2mx 0 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2my x2 và mx y2 ta có 2 1 2 2 4 3 x 0 x 2mx x 2m 2mx x 8m x 0 . 2m x 2m 2m 2m 1 2 1 2 Khi đó S x 2mx dx x 2mx dx 0 2m 0 2m 2m 1 x3 2 2m 4m2 . x x . 2m 3 3 3 0 4m2 9 3 Để S 3 3 m2 m (do m 0 ). 3 4 2 Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi H là phần giao của 1 hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình 4 trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của H . 2a3 3a3 A. V . B. V . H 3 H 4 a3 a3 C. V . D. V . H 2 H 4 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao H là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích S x a2 x2 a a 2a3 Thể tích khối H là S x dx a2 x2 dx . 0 0 3
21. 2 3 Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với các số nguyên a,b thỏa mãn 2x 1 ln xdx a ln b . 1 2 Tính tổng P a b . A. P 27 . B. P 28 . C. P 60 . D. P 61. Hướng dẫn giải Chọn C. 1 u ln x du dx Đặt ta có x dv 2x 1 dx 2 v x x 2 2 1 2x 1 ln xdx x2 x ln x 2 x2 x . dx 1 1 1 x 2 x2 3 3 6ln 2 x 1 dx 6ln 2 x 2 6ln 2 4 4 ln 64 1 1 2 2 2 P a b 4 64 60 . y Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một x mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y2 x2 25 x2 như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. 125 125 250 125 A. S m2 B. S m2 C. S m2 D. S m2 6 4 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .
22. 1 Từ giả thuyết bài toán, ta có y x 5 x2 . 4 1 Góc phần tư thứ nhất y x 25 x2 ; x 0;5 4 1 5 125 125 S x 25 x2 dx S (m3 ) Nên (I ) 4 0 12 3 Câu 39: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V là thể tích khối tròn y xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các M đường y x , y 0 và x 4 quanh trục Ox . Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm y x tại M a H (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo O K 4 x thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V 2V1 . Khi đó 5 A. a 2 . B. a 2 2 . C. a . D. a 3. 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 4 Ta có x 0 x 0 . Khi đó V xdx 8 0 Ta có M a; a Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: • Hình nón N1 có đỉnh là O , chiều cao h1 OK a , bán kính đáy R MK a ; • Hình nón N2 thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h2 HK 4 a , bán kính đáy R MK a 1 1 4 Khi đó V R2 h R2 h a 1 3 1 3 2 3 4 Theo đề bài V 2V 8 2. a a 3 . 1 3 Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y x2 4x 4 , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng d đi qua điểm A 0;4 có hệ số góc k chia H thành hai phần có diện tích bằng nhau. A. k 4 . B. k 8. C. k 6 . D. k 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x2 4x 4 và trục hoành là: x2 4x 4 0 x 2 .
23. Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số: y x2 4x 4 , trục tung và trục 2 2 2 3 2 2 x 2 8 hoành là: S x 4x 4 dx x 4x 4 dx 2x 4x . 3 3 0 0 0 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 0;4 y k y kx 4 có hệ số góc có dạng: . 4 4 Gọi B là giao điểm của d và trục hoành. Khi đó B ;0 . k Đường thẳng d chia H thành hai phần có diện tích 1 4 x bằng nhau khi B OI và S S O B 1 I OAB 2 3 . d 4 0 2 k k 2 k 6 . 1 1 4 4 k 6 S OA.OB .4. OAB 2 2 k 3 Câu 41: (CHUYÊN TUYÊN QUANG –L1) Tính tích phân 6 2 3 4x4 x2 3 2 dx a 3 b c 4 a b c 4 . Với , , là các số nguyên. Khi đó 1 x 1 8 biểu thức a b2 c4 có giá trị bằng A. 20 . B. 241. C. 196. D. 48 . Hướng dẫn giải Chọn B. 6 2 6 2 6 2 6 2 2 4x4 x2 3 2 x2 1 2 2 x2 1 dx 4 dx 4 dx dx I J Ta có 4 4 4 . 1 x 1 1 x 1 1 1 x 1 6 2 2 6 2 I 4 dx 4x 2 2 6 2 2 4 Tính 1 . 1 6 2 6 2 1 6 2 1 2 2 2 1 2 1 x 1 x2 x2 Tính J 4 dx dx 2 dx. x 1 2 1 1 1 x 1 1 2 x 2 x x x 1 t 0 1 1 Đặt t x dt 1 2 dx . Khi 6 2 . x x x t 2 2
24. 2 dt 2 Khi đó J 2 . Đặt t 2 tan u dt 2 1 tan u du . Khi 2 0 t 2 t 0 u 0 . t 2 u 4 2 4 2 1 tan u 2 4 2 4 2 Suy ra J du du u . 2 1 tan2 u 2 2 8 0 0 0 6 2 2 4x4 x2 3 2 a b 16 dx 16 3 16 4 Vậy 4 . 1 x 1 8 c 1 Vậy a b2 c4 241. Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu S1 , S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. V R3 . B. V . C. V . D. V . 2 12 5 Hướng dẫn giải y 2 2 2 Chọn C (C) : x y R Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu S O, R chứa một đường tròn lớn O R R x 2 là C : x2 y2 R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là R R 3 3 2 2 2 x 5 R V 2 R x dx 2 R x . R 3 R 12 2 2 4 2 Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y x 3x m có đồ thị Cm với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
25. y Cm S3 O x S1 S2 Gọi S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1 S2 S3 . 5 5 5 5 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử x b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x4 3x2 m 0 . Khi đó ta có b4 3b2 m 0 (1) Nếu xảy ra S1 S2 S3 thì b b5 b4 x4 3x2 m dx 0 b3 mb 0 b2 m 0 (2) do b 0 0 5 5 4 5 Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được b4 2b2 0 b2 (do b 0) . 5 2 5 Thay trở ngược vào (1) ta được m . 4