Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 4: Số phức (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 4: Số phức (Có đáp án)

1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 4. SỐ PHỨC Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức z1, z2 khác nhau thỏa mãn: z1 z2 . Chọn phương án đúng: z z z z A. 1 2 0 . B. 1 2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z1 z2 z1 z2 z z z z C. 1 2 là số thực. D. 1 2 là số thuần ảo. z1 z2 z1 z2 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương pháp tự luận: z1 z2 Vì z1 z2 và z1 z2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w và z1 z2 a , ta z1 z2 có a2 a2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 w 2 2 w z z z z a a z z 1 2 1 2 2 1 z1 z2 Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D. Phương pháp trắc nghiệm: z1 z2 1 i Số phức z1, z2 khác nhau thỏa mãn z1 z2 nên chọn z1 1; z2 i , suy ra i z1 z2 1 i là số thuần ảo. Chọn D. Câu 2: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2z 1 i là hình tròn có diện tích A. S 9 . B. S 12 . C. S 16 . D. S 25 . Hướng dẫn giải Chọn C. w 1 i w 2z 1 i z 2 w 1 i z 3 4i 2 3 4i 2 w 1 i 6 8i 4 w 7 9i 4 1 2 2 2 Giả sử w x yi x, y ¡ , khi đó 1 x 7 y 9 16 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 7; 9 , bán kính r 4. Vậy diện tích cần tìm là S .42 16 .
2. Câu 3: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2 A. z 1 2i . B. z i . C. z i . D. z 1 2i . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C. Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x, y ¡ z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 2 x 2 2 y 1 2 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 x 2y 1 2 2 2 2 2 2 2 1 5 z x y 2y 1 y 5y 4y 1 5 y 5 5 5 5 2 1 Suy ra z khi y x min 5 5 5 1 2 Vậy z i. 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x, y ¡ z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 2 x 2 2 y 1 2 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z 2 i là đường thẳng d : x 2y 1 0 . Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A. 1 2 1 2 Phương án B: z i có điểm biểu diễn ; d nên loại B. 5 5 5 5 Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1;2 d nên loại B. 1 2 1 2 Phương án C: z i có điểm biểu diễn ; d 5 5 5 5 Câu 4: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng A. 4 7. B. 4 7. C. 7. D. 4 5. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi z x yi với x; y ¡ .
3. z 3 z 3 8 x 3 yi x 3 yi 8 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 8 MF1 MF2 8, F1( 3,0), F2 (3,0) Vậy tập hợp điểm M là Elip x2 y2 1 z x2 y2 OM 16 7 Do đó M max z 4 . m min z 7 . Vậy M m 4 7 . Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Giá trị lớn nhất của z 1 i là A. 13 2 . B. 4 .C. 6 .D. 13 1. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x 2 y 3 i . 2 2 Theo giả thiết x 2 y 3 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1. M2 2 2 Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 y i x 1 y 1 . M1 I 2 M x; y H 1;1 HM x 1 2 y 1 Gọi và thì . H Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. x 2 3t Phương trình HI : , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y 3 2t 2 2 1 3 2 3 2 9t 4t 1 t nên M 2 ;3 ,M 2 ;3 . 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1. Câu 6: (THTT – 477) Cho z1, z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A. z1 z2 z3 z1 z2 z3 . B. z1 z2 z3 z1 z2 z3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C. z1 z2 z3 z1 z2 z3 . D. z1 z2 z3 z1 z2 z3 .
4. Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1: Ta có: z1 z2 z3 0 z2 z3 z1 3 3 3 3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 3 z1z2 z1z3 z1 z2 z3 3z2 z3 z2 z3 3 3 3 3 3 3 z1 z2 z3 3z1z2 z3 z1 z2 z3 3z1z2 z3 . 3 3 3 z1 z2 z3 3z1z2 z3 3 z1 z2 z3 3 3 3 3 Mặt khác z1 z2 z3 1 nên z1 z2 z3 3 . Vậy phương án D sai. Cách 2: thay thử z1 z2 z3 1vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 7: (THTT – 477) Cho P z là một đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn P z 0 thì 1 1 A. P z 0. B. P 0. C. P 0. D. P z 0. z z Hướng dẫn giải Chọn D. 2 n Giả sử P z có dạng P z a0 a1z a2 z an z a0 ; a1; a2 ; ;an ¡ ; an 0 2 n 2 n P z 0 a0 a1z a2 z an z 0 a0 a1z a2 z an z 0 2 n a0 a1z a2 z an z 0 P z 0 2z i Câu 8: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1. Đặt A . Mệnh đề nào 2 iz sau đây đúng? A. A 1.B. A 1.C. A 1.D. A 1. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt Có a a bi, a, b ¡ a2 b2 1 (do z 1) 2 2z i 2a 2b 1 i 4a2 2b 1 A 2 2 iz 2 b ai 2 b a2 2 2 Ta chứng minh 4a 2b 1 . 2 1 2 b a2 2 2 4a 2b 1 2 2 2 2 2 2 Thật vậy ta có 2 1 4a 2b 1 2 b a a b 1 2 b a2 Dấu “=” xảy ra khi a2 b2 1. Vậy A 1.
5. 2 Câu 9: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phức z thỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên 2 1 là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là một iz y Q trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D.điểm P . M A Hướng dẫn giải O x N Đáp án: D. Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi z a bi (a,b 0) . P 2 2 Do z nên a2 b2 . 2 2 1 b a Lại có w i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba iz a2 b2 a2 b2 của mặt phẳng Oxy . 1 1 w 2 2 z 2OA . iz i . z Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . 5i Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1 . z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải 5i 5i 5 Ta có: A 1 1 1 6. Khi z i A 6. z z z Chọn đáp án C. z 2z 3i Câu 11: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 2   2 i z i 3 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON 2 , trong đó   Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải
6. 5 1 5 1 1 Ta có: 2 i z i 3 i z z 1 i w i M ; tan . 4 4 4 4 5 2 tan 5 1 tan2 12 Lúc đó: sin 2 0; cos 2 0 . 1 tan2 13 1 tan2 13 Chọn đáp án A. Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức M z2 z 1 z3 1 . A. M max 5; M min 1. B. M max 5; M min 2. C. M max 4; M min 1. D. M max 4; M min 2. Hướng dẫn giải 2 3 Ta có: M z z 1 z 1 5 , khi z 1 M 5 M max 5. 1 z3 1 z3 1 z3 1 z3 1 z3 Mặt khác: M 1 z3 1, khi 1 z 2 2 2 z 1 M 1 M min 1. Chọn đáp án A. Câu 13: Cho số phức z thỏa z 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i P . z 3 2 A. . B.1. C. 2 . D. . 4 3 Hướng dẫn giải i 1 3 i 1 1 Ta có P 1 1 . Mặt khác: 1 1 . z |z| 2 z |z| 2 1 3 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z 2i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy 2 2 ra khi z 2i. Chọn đáp án A. 4 z 1 Câu 14: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình 1. Tính giá trị biểu thức 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 . 17 16 15 A. P 2. B. P . C. P . D. P . 9 9 9 Hướng dẫn giải 4 4 Ta có phương trình f z 2z i z 1 0.
7. Suy ra: f z 15 z z1 z z2 z z3 z z4 . Vì f i . f i z2 1 z i z i P 1 . 1 1 1 225 4 4 4 17 Mà f i i4 i 1 5; f i 3i i 1 85. Vậy từ 1 P . 9 Chọn đáp án B. Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm môđun lớn nhất của số phức z 2i. A. 26 6 17 . B. 26 6 17 . C. 26 8 17 . D. 26 4 17 . Hướng dẫn giải Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ z 2i x y 2 i . Ta có: 2 2 z 1 2i 9 x 1 y 2 9 . Đặt x 1 3sint; y 2 3cost; t 0; 2 . 2 2 2 z 2i 1 3sint 4 3cost 26 6 sint 4cost 26 6 17 sin t ; ¡ . 26 6 17 z 2i 26 6 17 z 2i 26 6 17 . max Chọn đáp án A. Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Hướng dẫn giải 2 2 2 2 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 x y 1 y 1 x x 1;1 . 2 2 Ta có: P 1 z 3 1 z 1 x y2 3 1 x y2 2 1 x 3 2 1 x . Xét hàm số f x 2 1 x 3 2 1 x ; x 1;1 . Hàm số liên tục trên 1;1 và với 1 3 4 x 1;1 ta có: f x 0 x 1;1 . 2 1 x 2 1 x 5 4 Ta có: f 1 2; f 1 6; f 2 20 Pmax 2 20. 5 Chọn đáp án D. Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 . Tính giá trị của M.m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3. D. . 4 4 4 Hướng dẫn giải
8. Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 z.z 1 Đặt t z 1 , ta có 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0; 2 . t2 2 Ta có t2 1 z 1 z 1 z.z z z 2 2x x . 2 2 Suy ra z2 z 1 z2 z z.z z z 1 z 2x 1 2x 1 t2 3 . 2 Xét hàm số f t t t 3 ,t 0; 2 . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra 13 13 3 max f t ; min f t 3 M.n . 4 4 Chọn đáp án A. 1 i Câu 18: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và z z; z 0 trên mặt phẳng 2 tọa độ ( A, B, C và A , B , C đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Hướng dẫn giải 1 i 1 i 2 Ta có: OA z ; OB z .z . z z . 2 2 2    1 i 1 i 2 Ta có: BA OA OB BA z z z z . z z . 2 2 2 Suy ra: OA2 OB2 AB2 và AB OB OAB là tam giác vuông cân tại B. Chọn đáp án C. Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 4 2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. z . B. 5 1 z 5 1. 6 6 2 1 2 1 C. 6 1 z 6 1. D. z . 3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta được 2 2 2 z 4 z2 4 4 z z 2 z 4 0 z 5 1. 2 2 2 z z z2 4 z2 4 z 2 z 4 0 z 5 1.
9. Vậy, z nhỏ nhất là 5 1, khi z i i 5 và z lớn nhất là 5 1, khi z i i 5. Chọn đáp án B. Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 9 4 5. B. 11 4 5 C. 6 4 5 D. 5 6 5 Hướng dẫn giải 2 2 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 2i 2 x 1 y 2 4. Đặt x 1 2sint; y 2 2cost; t 0; 2 . Lúc đó: 2 2 2 z 1 2sint 2 2cost 9 4sint 8cost 9 42 82 sin t ; ¡ 2 z 9 4 5 sin t z 9 4 5 ; 9 4 5 5 2 5 10 4 5 z 9 4 5 đạt được khi z i. max 5 5 Chọn đáp án A. Câu 21: Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 2i; 1 3 i; 1 3 i; 1 2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I. Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z 3. B. z 1 3i. C. z 1. D. z 1. Hướng dẫn giải   Ta có AB biểu diễn số phức 3 i; DB biểu diễn số phức 3 3i . Mặt khác 3 3i     3i nên AB.DB 0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC.AC 0 . Từ 3 i đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C, D. Vậy I 1;0 z 1. Chọn đáp án C. 2 Câu 22: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z 2 i 4 i  và gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM. Tính cos 2 . 425 475 475 425 A. . B. . C. . D. . 87 87 87 87 Hướng dẫn giải 2 13 Ta có: z 2 i 4 i 16 13i M 16;13 tan . 16 1 tan2 425 Ta có: cos 2 . 1 tan2 87
10. Chọn đáp án D. z 1 Câu 23: Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 2 ¡ và z1 z2 2 3. z2 Tính môđun của số phức z1. 5 A. z 5. B. z 3. C. z 2. D. z . 1 1 1 1 2 Hướng dẫn giải Gọi z1 a bi z2 a bi; a ¡ ; b ¡ . Không mất tính tổng quát ta gọi b 0. Do z1 z2 2 3 2bi 2 3 b 3. z z3 Do z , z là hai số phức liên hợp của nhau nên z .z ¡ , mà 1 1 ¡ z3 ¡ . 1 2 1 2 z2 2 1 2 z1z2 3 b 0 3 3 2 2 3 2 3 2 Ta có: z1 a bi a 3ab 3a b b i ¡ 3a b b 0 2 2 a 1. 3a b 2 2 Vậy z1 a b 2. Chọn đáp án C. m 2 6i Câu 24: Cho số phức z , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1; 50 để z là 3 i số thuần ảo? A.24. B.26. C.25. D.50. Hướng dẫn giải m 2 6i m m m Ta có: z (2i) 2 .i 3 i z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2k 1, k ¥ (do z 0; m ¥ * ). Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Chọn đáp án C. z2 1 Câu 25: Nếu z 1 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải z2 1 1 z z Ta có: z z z 2 z z là số thuần ảo. z z z.z z Chọn đáp án B.
11. Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 6 2i 10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3 5 Hướng dẫn giải Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: 6 2i 2 2 1 i z 6 2i 10 1 i . z 10 z 2 4i 5 x 2 y 4 5. 1 i Đặt x 2 5 sint; y 4 5 cost; t 0; 2 . Lúc đó: 2 2 2 2 2 z 2 5 sint 4 5 cost 25 4 5 sint 8 5 cost 25 4 5 8 5 sin t ; ¡ 2 z 25 20sin t z 5; 3 5 zmax 3 5 đạt được khi z 3 6i. Chọn đáp án B. 2 2 Câu 27: Gọi z x yi x, y R là số phức thỏa mãn hai điều kiện z 2 z 2 26 và 3 3 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 2 2 9 13 16 9 A. xy . B. xy . C. xy . D. xy . 4 2 9 2 Hướng dẫn giải Đặt z x iy x, y R . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 y2 36. Đặt x 3cost, y 3sint. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 3 3 P z i 18 18sin t 6. 2 2 4 3 3 2 3 2 Dấu bằng xảy ra khi sin t 1 t z i. 4 4 2 2 Chọn đáp án D. z 1 z i Câu 28: Có bao nhiêu số phức z thỏa 1 và 1? i z 2 z A.1. B.2. C.3. D.4. Hướng dẫn giải
12. z 1 1 3 x i z z 1 i z x y 2 3 3 Ta có : z i. z i z i 2 z 4x 2y 3 3 2 2 1 y 2 z 2 Chọn đáp án A. Câu 29: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; z2 ; z1.z2 0 trên mặt phẳng tọa 2 2 độ ( A, B, C và A , B , C đều không thẳng hàng) và z1 z2 z1.z2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Hướng dẫn giải 2 z 2 2 2 2 2 Ta có: z1 z2 z1.z2 z1 z1 z2 z1 ; z1 z1 . z2 z1 . Do z1 0 z2 z1 ; (1) z1 2 2 z 2 1 Mặt khác: z1 z2 z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 (do z2 0 ) (2) z2 2 2 z2 z1 Từ (1) và (2) suy ra: z1 z2 . Vậy ta có: z1 z2 z2 z1 OA OB AB z1 z2 . Chọn đáp án A. Câu 30: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 2i. A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3 2 Hướng dẫn giải Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . 2 2 2 Ta có: z 2 4i z 2i x 2 y 4 x2 y 2 x y 4 0 y 4 x. 2 2 2 2 Ta có: z 2i x2 y 2 x2 6 x 2x2 12x 36 2 x 3 18 18 z 2i 18 3 2 khi z 3 i. min Chọn đáp án C. Câu 31: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z4 mz2 n 0 không có nghiệm thực.
13. m2 4n 0 A. m2 4n 0. B. m2 4n 0 hoặc m 0 . n 0 m2 4n 0 m2 4n 0 C. m 0 . D. m2 4n 0 hoặc m 0 . n 0 n 0 Hướng dẫn giải Phương trình z4 mz2 n 0 không có nghiệm thực trong các trường hợp: TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là m2 4n 0. 0 m2 4n 0 TH 2: Phương trình t4 mt2 n 0; t z2 có hai nghiệm âm S 0 m 0 . P 0 n 0 Chọn đáp án D. z 2 a Câu 32: Nếu z a; a 0 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải z 2 a2 a a2 z a2 z Ta có: z z z 2 z z là số thuần ảo. z z z.z z Chọn đáp án B. Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 i. A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ z 1 i x 1 y 1 i . Ta có: 2 2 z 1 2i 9 x 1 y 2 9 . Đặt x 1 3sint; y 2 3cost; t 0; 2 . 2 2 2 z 1 i 3sint 1 3cost 10 6cost 2 z 2i 4 z 1 i 2 , khi min z 1 i. Chọn đáp án C. 2z z 1 i Câu 34: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 i   1 i z i 2 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON 2 , trong đó
14.   Ox,OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải 7 19 7 19 19 Ta có: 1 i z i 2 i z z 3i w i M ; tan . 82 82 82 82 7 2 tan 133 1 tan2 156 Lúc đó: sin 2 0; cos 2 0 . 1 tan2 205 1 tan2 205 Chọn đáp án C. Câu 35: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i 5 và biểu thức 2 2 M z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i. A. z i 2 41 B. z i 3 5. C. z i 5 2 D. z i 41. Hướng dẫn giải 2 2 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 3 4i 5 C : x 3 y 4 5 : tâm I 3; 4 và R 5. Mặt khác: 2 2 2 2 M z 2 z i x 2 y2 x2 y 1 4x 2y 3 d : 4x 2y 3 M 0. Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung 23 M d I;d R 5 23 M 10 13 M 33 2 5 4x 2y 30 0 x 5 M 33 2 2 z i 5 4i z i 41. max x 3 y 4 5 y 5 Chọn đáp án D. Câu 36: Các điểm A, B, C và A , B , C lần lượt biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 và z1 , z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A , B , C đều không thẳng hàng). Biết z1 z2 z3 z1 z2 z3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và A B C bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và A B C có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và A B C có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải
15. Gọi z1 x1 y1i; z2 x2 y2i; z3 x3 y3i; xk ; yk ¡ ; k 1; 3 . Khi đó: A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 ; C x3 ; y3 , gọi G là trọng tâm x x x y y y ABC G 1 2 3 ; 1 2 3 . 3 3 Tương tự, gọi z1 x1 y1i; z2 x2 y2i; z3 x3 y3i; xk ; yk ¡ ; k 1; 3 . Khi đó: A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 ; C x3 ; y3 , x x x y y y gọi G là trọng tâm A B C G 1 2 3 ; 1 2 3 . 3 3 Do z1 z2 z3 z1 z2 z3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 i x1 x2 x3 y1 y2 y3 i x x x x x x 1 2 3 1 2 3 G  G . y1 y2 y3 y1 y2 y3 Chọn đáp án C. Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z 2 3i 1 i  và gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM. Tính sin 2 . 5 5 12 12 A. . B. . C. . D. . 12 12 5 5 Hướng dẫn giải 1 Ta có: z 2 3i 1 i 5 i M 5; 1 tan . 5 2 tan 5 Ta có: sin 2 . 1 tan2 12 Chọn đáp án A. m i Câu 38: Cho số phức z , m ¡ . Tìm môđun lớn nhất của z. 1 m m 2i 1 A. 1. B. 0. C. . D.2. 2 Hướng dẫn giải m i m i 1 Ta có: z z 1 z 1 z i; m 0. 1 m m 2i m2 1 m2 1 m2 1 max Chọn đáp án A. 1 Câu 39: Cho số phức z có z m; m 0 . Với z m; tìm phần thực của số phức . m z 1 1 1 A. m. B. . C. . D. . m 4m 2m Hướng dẫn giải
16. Gọi Re z là phần thực của số phức z. 1 1 1 1 m z m z 2m z z Ta xét: m z m z m z m z m z m z m2 z.z mz mz 2m z z 2m z z 1 1 1 Re . 2m2 mz mz m 2m z z m m z 2m Chọn đáp án D. Câu 40: Cho số phức z1,z2 thỏa mãn z1 = 3 , z2 = 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức uuur uuur p z + z lần lượt là các điểm M ,N . Biết Ð(OM ,ON ) = , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z1 - z2 7 3 1 A. 13 B. 1 C. D. 2 13 Hướng dẫn giải Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : ì 2 2 ï 0 ïì z + z = OP ï z + z = z + z + 2 z z cos 150 = 1 z + z ï 1 2 ï 1 2 1 2 1 2 ( ) z1 + z2 1 2 íï Þ í Þ = = 1. Chọn 2 2 ï z - z = MN ï 0 z - z z - z îï 1 2 ï z - z = z + z - 2 z z cos 30 = 1 1 2 1 2 îï 1 2 1 2 1 2 ( ) B. Câu 41: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn z £ thỏa mãn 10 2 i z 1 2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w 3 4i z 1 2i là đường z tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I 1; 2 , R 5. B. I 1;2 , R 5. C. I 1;2 , R 5. D. I 1; 2 , R 5. Hướng dẫn giải ChọnC.(đã sửa đề bài) Đặt z a bi và z c 0 , với a;b;c ¡ .
17. w 1 2i Lại có w 3 4i z 1 2i z . 3 4i Gọi w x yi với x; y ¡ . w 1 2i w 1 2i Khi đó z c c c x yi 1 2i 5c 3 4i 3 4i 2 2 2 2 x 1 y 2 5c x 1 y 2 25c2 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I 1;2 . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R 5 5c 5 c 1. Thử c 1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn. Câu 42: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ: y 1 z O 1 x i Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức  ? z y 1  y 1 A.O 1 B. x O 1 x  y y 1  1 B.D. O x O 1 x 1 
18. Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi z a bi;a,b ¡ . Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên a,b 0 . i i i a bi b a Ta có  i z a bi a2 b2 a2 b2 a2 b2 b 0 a2 b2 Do a,b 0 nên điểm biểu diễn số phức  nằm ở góc phần tư thứ hai. a 0 a2 b2 Vậy chọn C. Câu 43: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong các số phức z thỏa z + 3+ 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức z0 . B. z0 = 2 . C. z0 = 7 . D. z0 = 3 . Hướng dẫn giải. Chọn D Cách 1: Đặt z = a + bi (a,b Î ¡ ) . Khi đó z + 3+ 4i = 2 Û (a + 3)2 + (b + 4)2 = 4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C tâm I 3; 4 và bán kính R 5. Gọi M z là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M z C . z OM OI R 3. Vậy z bé nhất bằng 3 khi M z C  IM . Cách 2: ïì a + 3 = 2cosj ïì a = - 3+ 2cosj Đặt íï Û íï . îï b + 4 = 2sinj îï b = - 4+ 2sinj Þ z = a2 + b2 = (2cosj - 3)2 + (2sinj - 4)2 = 29- 12cosj - 16sinj .
19. æ3 4 ö = 29- 20ç cosj + sinj ÷= 29- 20cos(a - j ) ³ 9 èç ø÷ 5 5 . Þ z0 = 3 Câu 44: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1. Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1 B. 5 1 C. 5 2 D. 5 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. y I 1 M O 1 x Gọi z x yi , x, y ¡ . Ta có: z 2 2i 1 (x 2) (y 2)i 1 (x 2)2 (y 2)2 1 Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm I(2;2) và bán kính R 1. 2 z i x2 y 1 IM , với I 2;2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N 0;1 Oy, I 2;2 với đường tròn (C). IM min IN R 5 1 Câu 45: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z 4 z 4 10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R 4 x2 y2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn 2 2 phương trình x 4 y2 x 4 y2 12. x2 y2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 25 9 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z x yi.
20. Gọi A 4;0 là điểm biểu diễn của số phức z 4. Gọi B 4;0 là điểm biểu diễn của số phức z 4. Khi đó: z 4 z 4 10 MA MB 10. (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm. 2 2 x y 2 2 2 Gọi phương trình của elip là 2 2 1, a b 0,a b c a b Từ (*) ta có: 2a 10 a 5. AB 2c 8 2c c 4 b2 a2 c2 9 x2 y2 Vậy quỹ tích các điểm M là elip: E : 1. 25 9 Câu 46: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tính S 1009 i 2i2 3i3 2017i2017 . A. S 2017 1009i. B. 1009 2017i. C. 2017 1009i. D. 1008 1009i. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có S 1009 i 2i2 3i3 4i4 2017i2017 1009 4i4 8i8 2016i2016 i 5i5 9i9 2017i2017 2i2 6i6 10i10 2014i2014 3i3 7i7 11i11 2015i2015 504 505 504 504 1009  4n i 4n 3  4n 2 i 4n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1009 509040 509545i 508032 508536i 2017 1009i. Cách khác: Đặt f x 1 x x2 x3 x2017 f x 1 2x 3x2 2017x2016 xf x x 2x2 3x3 2017x2017 1 Mặt khác: x2018 1 f x 1 x x2 x3 x2017 x 1 2018x2017 x 1 x2018 1 f x x 1 2 2018x2017 x 1 x2018 1 xf x x. 2 x 1 2 Thay x i vào 1 và 2 ta được: 2017 2018 2018i i 1 i 1 2018 2018i 2 S 1009 i. 1009 i 2017 1009i i 1 2 2i
21. Câu 47: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z 2i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 . A.3 i . B.1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i . Hướng dẫn giải Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R Gọi E 1, 2 là điểm biểu diễn số phức 1 2i Gọi F 0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có : z 2i 1 z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x y 2 0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M M 3,1 z 3 i => Đáp án A. Câu 48: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1 z 1 i 2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu ? A. P 4 .B. P . B. P 2 .D. P 3 . Hướng dẫn giải Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R Gọi A 1,1 là điểm biểu diễn số phức 1 i 1 z 1 i 2 1 MA 2 . Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là R1 2, R2 1 P P1 P2 2 R1 R2 2 => Đáp án C. Lưu ý cần nắm vững lý thuyết và hình vẽ của dạng bài này khi học trên lớp tránh nhầm lẫn sang tính diện tích hình tròn. Câu 49: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn 2 2 2 z z 2 z 16 là hai đường thẳng d1,d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1,d2 là bao nhiêu ? A. d d1,d2 2. B. d d1,d2 4. C. d d1,d2 1.D. d d1,d2 6 . Hướng dẫn giải Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R
22. 2 2 Ta có : z2 z 2 z 16 x2 2xyi y2 x2 2xyi y2 2x2 2y2 16 2 4x 16 x 2 d d1,d2 4 Ta chọn đáp án B. Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. Câu 50: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho số phức z thỏa mãn z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 . Tính min | w |, với w z 2 2i . 3 1 A. min | w | . B. min | w | 2 . C. min | w | 1.D. min | w | . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 z 1 2i z 1 2i z 1 2i z 3i 1 z 1 2i 0 . z 1 2i z 3i 1 Trường hợp 1: z 1 2i 0 w 1 w 1 1 . Trường hợp 2: z 1 2i z 3i 1 Gọi z a bi (với a,b ¡ ) khi đó ta được 2 2 1 a 1 b 2 i a 1 b 3 i b 2 b 3 b . 2 3 2 9 3 Suy ra w z 2 2i a 2 i w a 2 2 . 2 4 2 Từ 1 , 2 suy ra min | w | 1. Câu 51: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 1 2i 5 và w z 1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi z x yi x, y ¡ z 1 2i x 1 y 2 i
23. 2 2 2 2 Ta có: z 1 2i 5 x 1 y 2 5 x 1 y 2 5 Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm I 1; 2 bán kính R 5 như hình vẽ: Dễ thấy O C , N 1; 1 C y Theo đề ta có: M x; y C là điểm biểu diễn cho số O phức z thỏa mãn: 1 x 1 w z 1 i x yi 1 i x 1 y 1 i N 1  2 2 2 z 1 i x 1 y 1 MN I Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất Mà M , N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C 2 I là trung điểm MN M 3; 3 z 3 3i z 32 3 3 2 Câu 52: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z1 ,  z2 . Khi đó độ dài của AB bằng A. z2 z1 . B. z2 z1 . C. z1 z2 . D. z1 z2 . Hướng dẫn giải. Chọn B. Giả sử z1 a bi , z2 c di , a,b,c,d ¡ . 2 2 Theo đề bài ta có: A a;b , B c;d AB c a d b . 2 2 z2 z1 a c d b i z2 z1 c a d b . Câu 53: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i . A. maxT 8 2 . B. maxT 4 . C. maxT 4 2 . D. maxT 8 . Hướng dẫn giải Chọn B