Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 6: Khối tròn xoay (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 6: Khối tròn xoay (Có đáp án)

1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 6. KHỐI TRÒN XOAY Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , AB 1, AC 2 và B· AC 60. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C , M , N . 2 3 4 A. R 2 . B. R . C. R . D. R 1. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D. *Gọi K là trung điểm của AC suy ra : AK AB KC 1 *Lại có B· AC 60 ·ABK 60; K· BC 30 ·ABC 90 1 *Theo giả thiêt ·ANC 90 2 * Chứng minh ·AMC 90 3 Thật vậy, ta có: BC  SA; BC  AB BC  SAB SBC  SAB AM  SB AM  SBC AM  MC Từ 1 ; 2 ; 3 suy ra các điểm A , B , C , M , N nội tiếp đường tròn tâm K , bán kính 1 KA KB KC KM KN AC 1. 2 Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng (2 2) a2 (3 3) a2 (1 3) a2 3 2 a2 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH.
2. Ta có AH AB2 BH 2 a 3 AH.BH a 3.a a 3 HK AB 2a 2 a 3 3a2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là S .a 3 1 2 2 a 3 3a2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là S .a 2 2 2 (3 3)a2 Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là S S S . 1 2 2 Câu 3: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC 6 cm , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. 48 cm2 . B. 12 cm2 . C. 16 cm2 . D. 24cm2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Gọi O là trung điểm của BC . Tam giác ABC vuông tại A , O là trung điểm của cạnh huyền BC , suy ra OA OB OC (1) . Xét các tam giác SHA, SHB, SHC có: SH chung S· HA S· HB S·HC 90 SHA SHB SHC (g.c.g) HA HB HC (2) · · · SAH SBH SCH 60 . Từ 1 và 2 suy ra H trùng O . Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC . Trong SAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I . Khi đó IA IB IC IS . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 2 2 SBC đều cạnh bằng 6 cm SO 3 3 SI .SO .3 3 2 3 . 3 3 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: S 4 2 3 48 cm2 .
3. Câu 4: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn O và O , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30 , cắt đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo R . 4R 2R 2 2R 2R A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Dựng OH  AB AB  OIH OIH  IAB IH là hình chiếu của OI lên IAB Theo bài ta được O· IH 30 Xét tam giác vuông OIH vuông tại O R 3 OH OI tan 30 3 Xét tam giác OHA vuông tại H R 6 2R 6 AH OA2 OH 2 AB 3 3 Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là: 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 8 4 7 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI . 1 V R2.OI 3 Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N . Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối R OI nón mới có bán kính r , có chiều cao là 2 2 2 1 R OI .R2.OI V1 . Phần dưới là khối 3 2 2 24 nón cụt có thể tích R2.OI R2.OI 7 R2.OI V V V . 2 1 3 24 24 R2.OI V1 24 1 Vậy tỉ số thể tích là: 2 V2 7 R .OI 7 24
4. Câu 6: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 3. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . 32 64 2 108 125 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A. S Ta có: N P CB  SAD , AM  SAB AM  CB 1  SC, AM  AM  SC 2 M D Từ A 1 , 2 AM  SBC AM  MC ·AMC 90 . Chứng minh tương tự ta có ·APC 90 B C Có AN  SC ·ANC 90 Ta có: ·AMC ·APC ·APC 90 khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . AC Bán kính cầu này là r 2 . 2 4 32 Thể tích cầu: V r3 3 3 Câu 7: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho mặt cầu S bán kính R . Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo bán kính R sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất R R 2 A. .h R 2 B. . h RC. .D. . h h 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. h2 Ta có .OO h; IA R, AO r r 2 R2 4 Diện tích xung quanh của hình trụ
5. h2 4R2 h2 S 2 rh h 4R2 h2 , 2 a2 b2 (dùng BĐT ab ). 2 2 2 2 2 Vậy .S max 2 R h 4R h h R 2 Câu 8: (BẮC YÊN THÀNH) Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường thẳng d . 13 3 a3 11 3 a3 A. .B. . 96 96 3 a3 11 3 a3 C. .D. . 8 8 Chọn B. Nếu ba hình tam giác không chồng lên nhau thì 3a3 thể tích của khối tròn xoay là V 1 8 3a3 Thể tích phần bị chồng lên là V 2 96 11 3 a3 Thể tích cần tính là V V V 1 2 96 Hoặc làm như sau: Đặt V1;V2 ;V3;V4 lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giácOAB quay quanh OB , khối tròn xoay sinh bởi hình BCFE;GCHK , khối nón sinh bởi tam giác DEB khi quay quanh BC . Khi đó: Thể tích khối cần tìm là: 1 a2 a 3 1 a2 a 3 11 3 a3 V V V V 3V 2V 3    2    . 1 2 3 1 4 3 4 2 3 16 4 96 Câu 9: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 1, đáy lớn CD 3 , cạnh bên AD 2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. 4 7 5 A. V 3 .B. V .C. V . D. V . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Theo hình vẽ: AH HD 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
6. tích khối trụ có bán kính r AH 1, chiều cao CD 3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ). 2 1 2 2 7 Vậy V .AH .CD 2. .AH .HD 3 . 3 3 3 Câu 10: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120 . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 2.B. 3.C. 1. D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi r là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh ·ASA 120 ·ASO 60 . r Suy ra SO OA.cot ·ASO . 3 Gọi H là trung điểm của AM và đặt x OH . r 2 Ta có: SH SO2 OH 2 x2 , AM 2AH 2 OA2 OH 2 2 r 2 x2 . 3 1 r 2 2 Diện tích tam giác SAM bằng s SH.AM x2 . r 2 x2 r 2. 2 3 3 2 r 2 r 2 r s r 2 đạt được khi x2 r 2 x2 x2 x . Tức là OH SO . max 3 3 3 3 Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu. Câu 11: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất. A. Đáp án khác.B. R 4 2. C. R 2. D. R 2 2. Hướng dẫn giải Chọn D. Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.
7. AKM vuông tại K. Ta thấy IK r là bán kính đáy của chóp, AI h là chiều cao của chóp. IK 2 AI.IM r 2 h 6 h . 1 1 V r 2h h2 6 h 0 h 6 . 3 3 1 V h2 6 h max y h3 6h2 max trên 0;6 max 3 Câu 12: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt C· AB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 A. 60.B. 45.C. arctan . D. 30 . 2 Hướng dẫn giải Đáp án: C. AC AB. cos 2R.cos CH AC.sin 2R.cos .sin ; AH AC.cos 2R.cos2 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 1 8 V AH. CH 2 R3.cos4 .sin2 . 3 3 Đặt t cos2 0 t 1 8 V R3t 2 1 t 3 3 8 3 8 3 t t 2 2t R .t.t 2 2t R 6 6 3 2 1 Vậy V lớn nhất khi t khi arctan . 3 2  Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f t t 2 1 t Câu 13: (SỞ GD BẮC NINH) Cho một hình nón N có đáy là hình tròn tâm O . Đường kính 2a và đường cao SO a . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng P vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn C . Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 2 a3 4 a3 7 a3 8 a3 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 81
8. Hướng dẫn giải Gọi là mặt phẳng qua trục của hình nón N cắt hình nón N theo thiết là tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn C theo thiết diện là tam giác SCD, gọi I là giao điểm của SO và CD.Ta có: AB 2a OA a SO .Do đó tam giác SOA vuông cân tại S .Suy ra tam giác SIC vuông cân tại I .Đặt SI AC x (0 x a) OI a x Thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C là: 1 1 1 1 V . .IC2.OI . .x2 (a x) x3 ax2 .V ' x . . 3x2 2ax 3 3 3 3 x 0 V ' x 0 2a .Bảng biến thiên: x 3 Chọn đáp án B Câu 14: (SỞ GD BẮC NINH) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC ,SA a, AB a, AC 2a, B· AC 600. Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 5 20 A. . a2 . B. 20 a2 . C. a2 . D. 5 a2 . 3 3 Hướng dẫn giải Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , d là đường thẳng đi qua H và vuông góc với mặt phẳng (ABC) , gọi là mặt phẳng trung trực của SA , O là giao điểm của d và . Khi đó O là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Theo định lí hàm số cosin ta có : BC AB2 AC2 2AB.AC.cos B· AC a2 2a 2 2a.2a.cos600 a 3 Diện tích tam giác ABC : 1 a2. 3 S .AB.AC.sin B· AC ABC 2 2
9. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : AB.BC.AC a.2a.a 3 AH a 4.S a2 3 ABC 4. 2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC : 2 2 2 2 a a 5 R OA AH OH a 2 2 Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2 2 a 5 2 S 4 R 4 . 5 a 2 Chọn đáp án D Câu 15: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M sao cho MA2 MB2 MC2 MD2 2a2 là a 2 A. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng . 2 a 2 B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng . 4 a 2 C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng . 2 a 2 D. Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng . 4 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Gọi K là trung điểm IJ . (Lúc này, K là trọng tâm tứ diện). Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có: AB2 a2 MA2 MB2 2MI 2 2MI 2 2 2 CD2 a2 MC2 MD2 2MJ 2 2MJ 2 2 2
10. IJ 2 MA2 MB2 MC2 MD2 2 MI 2 MJ 2 a2 2 2MK 2 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IC ID CD 2 a a 3 a a Ta có: IJ IC 2 4 4 2 4 2 3a2 MA2 MB2 MC2 MD2 4MK 2 . 2 3a2 a 2 Do đó: MA2 MB2 MC2 MD2 2a2 4MK 2 2a2 MK . 2 4 a 2 Vậy tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức đề bài là mặt cầu tâm K , bán kính bằng . 4 Câu 16: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 2a , tam giác 1 ABC cân tại A, BC 2a 2 , cos ·ACB . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình 3 chóp S.ABC. 97 a2 97 a2 97 a2 97 a2 A. S . B. S . C. S . D. S . 4 2 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A. BC Gọi H là trung điểm của BC HC a 2 . 2 Do ABC cân tại A AH  BC . 1 cos ·ACB AC 3HC AC 3a 2 . 3 AH AC 2 HC 2 18a2 2a2 4a . Gọi M là trung điểm AC , trong mp ABC
11. vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 1 1 2 2 Ta có cos ·ACH sinC· AH cosC· AH . 3 3 3 2 AM 3a 9a Trong AMO vuông tại M AO 2 cosC· AH 2 2 4 3 Gọi N là trung điểm SA . Trong mp SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O và vuông góc mp ABC tại I . Chứng minh được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có ANIO là hình chữ nhật 81a2 97a2 97 đường chéo AI AO2 AN 2 a2 a . 16 16 4 97a2 97 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S 4 R2 4 a2 (đvdt). 16 4 Câu 17: (LƯƠNG TÂM) Cho mặt cầu S Có tâm I , bán kính R 5. Một đường thằng cắt S tại 2 điểm M , N phân biệt nhưng không đi qua I . Đặt MN 2m . Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất? 5 2 10 5 5 2 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm MN, ta có : IH 25 m2 1 S IH.MN m 25 m2 IMN 2 Diện tích tam giác IMN : m2 25 m2 m2 (25 m2 ) 2 25 5 Suy ra S . Dấu ‘=’ xãy ra khi m2 25 m2 m IMN 2 2 Chọn (D) Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15p 5 15p 4 3p 5p A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 18 54 27 3 Hướng dẫn giải
12. Đáp án B Gọi O là tâm đường tròn tam giác ABC suy ra O là trọng tâm, H là trung điểm AB , kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC tại N ta được NO ^ (ABC ), gọi M là trung điểmSC , HM cắt NO tại I . Ta có HS = HC nên HM ^ SC Þ IS = IC = IA = IB = r Ta có CN CO 2 2 6 6 6 1 ÐNIM = ÐHCS = 450, = = Þ CN = = Þ SM = ,SN = CS CH 3 3 2 3 4 6 6 Suy ra NM = SM - SN = 12 NM 6 DNMI vuông tại M tan 450 = Þ IM = NM = IM 12 5 Suy ra r = IC = IM 2 + MC 2 = 12 4 5 15p Vậy V = pr 3 = . 3 54 Cách khác: Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giácSAB và ABC . Do các tam giác SAB và ABC là các tam giác đều cạnh bằng 1 nên P, Q lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. + Qua P đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB), qua O dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ). Hai trục này cắt nhau tại I , suy ra IA = IB = IC = IS . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và R = IC . 2 2 æ1 3÷ö æ2 3÷ö 15 2 2 ç ÷ ç ÷ + Xét DIQC : IC = IG + GC = ç . ÷ + ç . ÷ = èç3 2 ø÷ èç3 2 ø÷ 6 4 5 15p Vậy V = pR3 = . 3 54 Câu 19: Cho hình trụ có chiều caoh = 2, bán kính đáyr = 3.Một mặt phẳng(P) không vuông góc với đáy của hình trụ, làn lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD sao choABCD là hình vuông. Tính diện tíchS của hình vuôngABCD . A. S = 12p. B. S = 12. C. S = 20. D. S = 20p. Hướng dẫn giải Kẻ đường sinh BB’ của hình trụ. Đặt độ dài cạnh của hình vuông ABCD là x , x > 0.
13. ì ï CD ^ BC Do í Þ CD ^ B 'C Þ DB 'CD vuông tại C. Khi đó , B’D là đường kính của ï CD ^ BB ' îï đường Tròn (O ') . Xét DB 'CD vuông tại C Þ B 'D 2 = CD 2 + CB '2 Þ 4r 2 = x 2 + CB 2 (1) Xét tam giác DBB 'C vuông tại B Þ BC 2 = BB '2+ CB '2 Þ x 2 = h2 + CB '2 (2) 4r 2 + h2 Từ (1) và (2) Þ x 2 = = 20 . 2 Suy ra diện tích hình vuông ABCD là S = 20 . Câu 20: Cho hình chóp đều S.ABC có AB a , SB 2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 3 a2 3a2 12 a2 12a2 A. S B. S C. S D. S 11 11 11 11 Hướng dẫn giải 1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. • Xác định tâm mặt cầu Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do S.ABC là hình chóp đều nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Trong tam giác SOA dựng đường trung trực của cạnh bên SA , cắt SO tại I và cắt SA tại trung điểm J . I SO IA IB IC Ta có: IA IB IC IS I IA IS Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . • Tính bán kính mặt cầu Gọi M AO  BC thì M là trung điểm của BC . AB 3 a 3 2 a 3 Ta có: AM AO AM . 2 2 3 3 3a2 a 33 Trong tam giác vuông SOA ta có SO SA2 AO2 4a2 9 3 Xét hai tam giác vuông đồng dạng SJI và SOA ta có:
14. SI SJ SA2 4a2 2a 33 R SI SA SO 2SO a 33 11 2. 3 2) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu 2 2 2 2a 33 12 a Diện tích mặt cầu là: S 4 R 4 . 11 11 Câu 21: Cho hình chóp đều S.ABC có đường cao SH a ; góc SAB bằng 45 độ. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là a 3a A. B. a C. D. 2a 2 2 Hướng dẫn giải Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD IA IB IC ID(1) Khi đó IA IB IC ID IS hay IA IS(2) Gọi H là giao điểm của AC và BD.Từ (1) suy ra I SH (*) Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng là trung trực của SA. I (2*) Từ (2), suy ra (*) (2*) SH  I Gọi M là trung điểm của SA, khi đó: SI SM SM.SA SA.SA. SA2 R SI .Do SAB cân tại S và có SAB 450 nên SAB vuông cân SA SH SH 2SH 2SH AB 3 x 6 tại S. Đặt SA x , khi đó AB x 2; HA 3 3 6x2 3a2 3a Trong tam giác vuông SHA có: SA2 HA2 SH 2  x2 a2  x2 3a2 R . Đáp án 9 2a 2 C Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SAB  ABCD . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. a 21 a 3 a 3 a 6 A. R B. R C. R D. R 3 3 2 3 Hướng dẫn giải Qua O, kẻ 1  ABCD thì 1 là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Do SAB  ABCD nên kẻ SH  AB thì SH  ABCD 1
15. Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB và kẻ 2  SAB tại E thì 2 là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. 1 cắt 2 tại I : tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 2 Tứ giác OHEI có 3 góc vuông O, H, E nên là hình chữ nhật 3 a 3 SH 2a. a 3 EH 2 3 3a2 a 21 Trong AIO : R AI OA2 OI 2 2a2 . 9 3 Đáp án A. Câu 23: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất. R 6 2R 2R 2R A. r B. r C. r D. r 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O, R) thay đổi về V r2h đạt giá trị lớn nhất Ta có : AC 2 AB2 BC 2 4R2 4r2 h2 2 1 2 1 3 2 V R h h h R h 0 h 2R 4 4 3 2 2 2R V ' h R h 4 3 4 3 2R Vậy V Vmax R 3 h h 9 3 1 4R2 2R2 R 6 Lúc đó r2 R2 . r . Chọn A. 4 3 3 3 Câu 24: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (N). V 2 V 2 V 6 2 A. T B. T C. T D. Đáp án khác. VN 6 VN 3 VN 2 Hướng dẫn giải
16. Bài toán quy về hình nón tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác đều SEF mà EF // 2 AB R3 2 AB.Vì OAB là tam giác vuông cân nên AB BC R 2 .Suy ra VT BC 2 2 Ta thấy, tâm O của hình tròn cũng chính là tâm của hình vuông ABCD đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF. Như vậy, đường cao của tam giác SEF là SH 3OH 3R Trong tam giác EOH (vuông tại H, E¼OH 30 ). Ta có : EH OH. 3 R 3 1 1 Thể tích của hình nón V EH 2 .SH 3R2 .3R 3 R3 N 3 3 R3 2 V 2 Vậy T 2 . Chọn A. 3 VN 3 R 6 Câu 25: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) mà mặt phẳng vuông góc với 1 SO tại O 1 sao cho SO SO . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  1 3 nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón  nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón  . 7 R3 R3 26 R3 52 R3 A. B. C. D. 9 9 81 81 Hướng dẫn giải Gọi thiết diện thu được là AA1B1B 1 1 1 Vì SO SO nên A B AB .2R 1 3 1 1 3 3 Mặt khác AB1  A1B tại I nên 1 1 IO AB, IO A B 2 1 2 1 1 R 4R Vậy OO R 1 3 3 1 2R Dễ thấy SO OO 1 2 1 3 Từ đó SO 2R Gọi thể tích phần hình nón phải tính là V* thì V* V1 V2 , trong đó:
17. V1 là thể tích của hình nón  . V2 là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của  được cắt bởi (P). Ta có thể tích phần hình nón phải tính là 2 3 1 2 1 2 1 2 R 2R 52 R V* V1 V2 OB .SO O1B1 .SO1 R .2R . 3 3 3 9 3 81 Câu 26: Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là R 3 4R 3 2R 3 A. R 3 .B. . C. . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 x R) (xem hình vẽ) Bán kính của khối trụ là r R2 x2 . Thể tích khối trụ là: V (R2 x2 )2x . Xét hàm số V (x) (R2 x2 )2x, 0 x R R 3 Ta có : V '(x) 2 (R2 3x2 ) 0 x 3 . Bảng biến thiên: 2R 3 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là ; 3 4 R3 3 V . max 9 Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . h h 2h h A. x .B. x .C. x . D. x . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải Gọi r, R theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh r h x R của hình nón, B là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có: r (h x) . R h h
18. R2 Thể tích khối trụ là: V xR2 x (h x)2 h2 R2 Xét hàm số V (x) x (h x)2 , 0 x h . h2 R2 h Ta có V '(x) (h x)(h 3x) 0 x hay x h. h2 3 Bảng biến thiên: h Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là x ; 3 4 R2h V . max 27 Câu 28: Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h . h 2h h 3 A. x .B. x h 3 . C. x . D. x . 3 3 3 Hướng dẫn giải JB OJ h x R(h x) Từ hình vẽ ta có JB . IA OI h h 1 R2 Thể tích khối nón cần tìm là: V (h x)2 x . 3 h2 1 R2 Xét hàm số V (x) (h x)2 x , 0 x h . 3 h2 1 R2 h Ta có V '(x) (h x)(h 3x) 0 x h hay x . 3 h2 3 Bảng biến thiên:
19. h Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là x ; 3 4 R2h V . max 81 Câu 29: Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S(O;r) . Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu S(O;r) là 16 R3 4 R3 16 R3 4 R3 A. 3 .B. . C. 3 . D. . 5 1 1 2 5 1 5 2 5 1 Hướng dẫn giải Giả sử hình nón có đỉnh O và đường kính đáy là AB . Ta có OA OB R2 (2R)2 R 5 . Tam giác OAB có diện tích là S 2R2 , chu vi là 2 p 2R(1 5) . S 2R Do đó bán kính khối cầu S(O;r) là r . p 1 5 3 2 3 16 R Thể tích khối trụ cần tìm là: Vtru r h 2 r 3 . 1 5 Câu 30: Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước bằng: 64 R3 32 2 R3 32 R3 64 2 R3 A. B. C. D. 81 81 81 81 Hướng dẫn giải Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y 0 x R,0 y 2R . Gọi SS ' là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón thì ta có 1 1 x2 y 2R y . Gọi V là thể tích khối nón thì V x2 y y.y 2R y 4R 2y .y.y 1 1 3 3 6 3 4R 2y y y 32 R3 6 3 81 32 R3 4R Vậy thể tích V đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi 4R 2y y y , từ đó 1 81 3 2 2 4R 4R 8R 2R 2 x 2R hay x . Chọn C. 3 3 9 3
20. Câu 31: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng: 1 8 2 4 A. r3 B. r3 C. r3 D. r3 6 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB h.79b Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y x 0, y 2r thì 1 AH SA r AB.SH 2 r 2 y \ x x2 y2 r xy x2 y 2r Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là 1 1 y2 V x2 y r 2 : 2 3 3 y 2r y2 y2 4r 2 4r 2 4r 2 Ta có y 2r y 2r y 2r y 2r 4r 2 4r 2 y 2r 4r 2 y 2r . 4r 8r y 2r y 2r 1 4r 2 Từ đó V .8r3 , tức là V đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi y 2r y 4r từ đó x r 2 2 3 2 y 2r .
21. Câu 32: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Khi r và h thay đổi, tìm giá trị V bé nhất của tỉ số 1 V2 1 A. 2 B. 2 2 C. D. 2 3 Hướng dẫn giải Gọi P là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì P cắt hình nón. Theo tam giác cân SAB , cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân. Khi đó, bán kính r1 của hình cầu rh nội tiếp hình nón được tính bởi công thức r1 r h2 r 2 3 h2 1 1 3 r 2 1 1 x 2 V1 1 1 h 2 , ở đó 2 x 0 V2 4 h 4 x r r 2 3 2 1 1 x 1 x 1 x 2 2 1 x Xét f x , f ' x 4x 4.2x2 x 1 2 1 x 1 Vì 0 nên khi xét dấu của f x , ta chỉ cần xét dấu của g x x 2 2 1 x . 4.2x2 x 1 1 1 Ta có g ' x 1 . Dễ thấy g ' x 0 vì khi x 0 thì 1 , đồng thời g x 0 x 8 x 1 x 1 Vậy g x là hàm tăng trên miền x 0 và g 8 0 nên Với 0 x 8 thì g x 0; Câu 33: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h 20cm , bán kính đáy r 25cm . Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng: A. 500 cm2 B. 475 cm2 C. 450 cm2 D. 550 cm2 Hướng dẫn giải Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là SA SB nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có OI  AB . Từ tâm O của đáy ta kẻ OH  SI tại H, ta có OH  SAB và do đó theo giả thiết ta có OH 12cm . Xét tam giác vuông SOI ta có: 1 1 1 1 1 OI 2 OH 2 OS 2 122 202
22. OI 15 cm Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có : OS.OI SI.OH OS.OI 20.15 Do đó SI 25 cm OH 12 1 Gọi St là diện tích của thiết diện SAB. Ta có: S AB.SI , trong đó AB 2AI t 2 Vì AI 2 OA2 OI 2 252 152 202 nên AI 20cm và AB 40cm 1 2 Vậy thiết diện SAB có diện tích là: St .40.25 500 cm . Chọn A. 2 Câu 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng (AB 'C ') tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A 'B 'C ' bằng: 85a 3a 3a 31a A. . B. . C. . D. . 108 2 4 36 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm B 'C ' , ta có 0 · · · 60 = (AB 'C '),(A 'B 'C ') = AM ,A 'M = AMA ' . a 3 Trong DAA 'M , có A 'M = ; 2 · 3a AA ' = A 'M .tan AMA ' = . 2 Gọi G ' là trọng tâm tam giác đều A 'B 'C ', suy ra G ' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp DA 'B 'C '. Vì lặng trụ đứng nên GG ' ^ (A 'B 'C '). Do đó GG ' là trục của tam giác A 'B 'C '. Trong mặt phẳng (GC 'G '), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC ' cắt GG ' tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A 'B 'C ', bán kính R = GI . GP GG ' Ta có DGPI ÿ DGG 'C ' Þ = GI GC ' GP.GC ' GC '2 GG '2+ G 'C '2 31a Þ R = GI = = = = . Chọn D. GG ' 2GG ' 2GG ' 36
23. Câu 35: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300 . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng: R 3 R 3 A. R. B. R 3. C. . D. . 2 4 Hướng dẫn giải Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O 'B = R. Gọi AA ' là đường sinh của hình trụ thì O 'A ' = R, AA ' = R 3 và B·AA ' = 300 . Vì OO ' P(ABA ') nên d éOO ', AB ù= d éOO ', ABA ' ù= d éO ', ABA ' ù. ëê ( )ûú ëê ( )ûú ëê ( )ûú Gọi H là trung điểm A 'B , suy ra ü O 'H ^ A 'Bï ý Þ O 'H ^ ABA ' nên d éO ', ABA ' ù= O 'H . O 'H ^ AA 'ï ( ) ëê ( )ûú þï Tam giác ABA ' vuông tại A ' nên BA ' = AA ' tan 300 = R. R 3 Suy ra tam giác A 'BO ' đều có cạnh bằng R nên O 'H = . Chọn C. 2 Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC ) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai? R2 4 3 R A. R = d éG, SAB ù. B. 3 13R = 2SH. C. = . D. = 13. ëê ( )ûú SDABC 39 a Hướng dẫn giải 0 · · · Ta có 60 = SA,(ABC ) = SA,HA = SAH . a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = . 2 · 3a Trong tam giác vuông SHA , ta có SH = AH.tanSAH = . 2 Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với SAB nên bán kính mặt cầu R = d éG, SAB ù. ( ) ëê ( )ûú
24. 1 2 Ta có d éG,(SAB)ù= d éC,(SAB)ù= d éH,(SAB)ù. ëê ûú 3 ëê ûú 3 ëê ûú Gọi M , E lần lượt là trung điểm AB và MB . ì ì ï CM ^ AB ï HE ^ AB ï ï Suy ra í a 3 và í 1 a 3 . ï CM = ï HE = CM = îï 2 îï 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK ^ SE . (1) ì ï HE ^ AB Ta có í Þ AB ^ SHE Þ AB ^ HK . 2 ï AB ^ SH ( ) ( ) îï Từ 1 và 2 , suy ra HK ^ SAB nên d éH, SAB ù= HK . ( ) ( ) ( ) ëê ( )ûú SH.HE 3a Trong tam giác vuông SHE , ta có HK = = . SH 2 + HE 2 2 13 2 a Vậy R = HK = . Chọn D. 3 13 a 21 Câu 37: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Gọi h là 6 R chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số bằng: h 7 7 7 1 A. B. . C. . D. . 12 24 6 2 Hướng dẫn giải a 3 Gọi O là tâm DABC , suy ra SO ^ (ABC ) và AO = . 3 a Trong SOA , ta có h = SO = SA2 - AO2 = . 2 Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra ●I Î d nên IS = IA . ●I Î SO nên IA = IB = IC . Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC .