Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 8: Toán thực tế (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 8: Toán thực tế (Có đáp án)

1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 8. TOÁN THỰC TẾ Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản xuất được trong 1 ngày là giá trị 2 1 của hàm số: f m,n m 3 .n3 , trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng. Biết rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là 6 USD và cho một lao động chính là 24 USD . Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này. A. 1720 USD . B. 720 USD . C. 560 USD . D. 600 USD . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 1 Ta có giả thiết: m 3 .n3 40 m2n 64000 với m,n ¥ . Tổng số tiền phải chi trong một ngày là: 6m 24n 3m 3m 24n 33 216m2n 720 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 3m 24n m 8n Do đó, m2n 64000 64n3 64000 n 10 Ta chọn n 10 m 80 . Vậy chi phí thấp nhất để trả cho 80 nhân viên và 10 lao động chính để sản xuất đạt yêu cầu là 720 USD Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 1 mét. Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng? 3 3 3 3 A. 3 3 m2 . B. m2 . C. m2 . D. 1 m2 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C. Kí hiệu x là độ dài đường cao suy ra 0 x 1 Tính được đáy lớn bằng 1 2 1 x2 . Diện tích hình thang S 1 1 x2 x . Xét hàm số f (x) 1 1 x2 x trên 0;1. 2x2 1 1 x2 Ta có: f (x) . 1 x2 3 3 3 3 f (x) 0 x . Lập bảng biến thiên. Suy ra max f (x) f 2 0;1 2 4
2. Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho một cây nến hình lăng trụ lục gác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm . Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng A. 1500 ml .B. 600 6 ml . C. 1800 ml . D. 750 3 ml . Hướng dẫn giải Ta có AB 10 cm,AD=5 3 cm SABCD 50 3 V SABCD .h 750 3 Chọn đáp án: D Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Người ta thay nước mói cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h1 280cm . Giả sử h(t) cm là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, bết rằng tốc độ tăng của chiều cao 1 3 nước tại giây thứ t là h (t) 3 t 3 . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được độ sâu của 500 4 hồ bơi? A. 7545,2 s . B. 7234,8s .C. 7200,7 s . D. 7560,5s . Hướng dẫn giải Sau m giây mức nước của bể là m 3 4 m m 1 3 t 3 3 4 h(m) h (t)dt= 3 t 3dt= 3 m 3 33 3 0 0 500 2000 0 2000 3 3 4 3 3 Yêu cầu bài toán, ta có m 3 3 3 280 2000 4 3 3 m 3 4 140000 33 3 m 4 140000 33 3 3 7234,8 . Chọn B Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Một chất điểm chuyển động theo quy luật s t3 6t 2 17t , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc v m / s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên bằng: A.17 m/s . B. 36m/s . C. 26m/s D. 29m/s . Hướng dẫn giải Vận tốc của chất điểm là v s 3t 2 12t 17 3 t 2 2 29 29 . Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng 29 khi t 2. Chọn D.
3. Câu 6: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhung vì không đủ nộp tiền học phí Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm 3.000.000 đồng để nộp học với lãi suất 3% /năm. Sau khi tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25% / tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là A. 2đồng.3251 8 B. đồng. 3096C.04 đồng. D. đồng.215456 232289 Hướng dẫn giải Chọn D. + Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học: Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là: 3 +3r 3 1 r Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là: 3 1 r 2 3 1 r Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là: 3 1 r 4 3 1 r 3 3 1 r 2 3 1 r 12927407,43 A + Tính số tiền T mà Hùng phải trả trong 1 tháng: Sau 1 tháng số tiền còn nợ là: A Ar T A 1 r T . Sau 2 tháng số tiền còn nợ là: A 1 r T A 1 r T .r T A 1 r 2 T 1 r T Tương tự sau 60 tháng số tiền còn nợ là: A 1 r 60 T 1 r 59 T 1 r 58  T 1 r T . Hùng trả hết nợ khi và chỉ khi A 1 r 60 T 1 r 59 T 1 r 58  T 1 r T 0 A 1 r 60 T 1 r 59 1 r 58  1 r 1 0 60 60 1 r 1 A 1 r T 0 1 r 1 60 60 1 r 1 A 1 r T 0 r Ar 1 r 60 T 1 r 60 1 T 232.289 Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t .Biết rằng 4000 N t và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng 1 0,5t là bao nhiêu? A. .2 58 959 B.co n. C. . 253 D.58 4. con 257 167 con 264 334 con Hướng dẫn giải Chọn D. 4000 Ta có: N t N t dt dt 8000.ln 1 0,5t C 1 0,5t Mà số lượng vi trùng ban đầu bằng 250000 con nên C 250000 . Do đó: N t 8000.ln 1 0,5t 250000 . Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng bằng: N 10 8000.ln 6 250000 264334 con.
4. Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ dày của thành ống là 15cm , đường kính của ống là 80cm . Lượng bê tông cần phải đổ là A. 0,195 m3 . B. 0,18 m3 . C. 0,14 m3 .D. m3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và bên trong Do đó lượng bê tông cần phải đổ là: 2 2 3 3 V V1 V2 .40 .200 .25 .200 195000 cm 0,195 m Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Một ngôi biệt thự nhỏ có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2m . Trong đó có 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000đ /m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? A. 15.845.000. B. 13.627.000. C. 16.459.000. D. 14.647.000. Hướng dẫn giải Chọn A. Diện tích xung quanh 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm : S1 4. 2 .0,2.4,2 . Diện tích xung quanh 6 cây cột trước cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm : S2 6 2 .0,13.4,2 . Số tiền để sơn mười cây cột nhà là S1 S2 .380.000 15.845.000. Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình 1000 bởi hàm số B t ,t 0 , trong đó B t là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước 1 0,3t 2 tại ngày thứ t . Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước . Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa? A. 9 B. 10. C. 11. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn B 1000 1000 Ta có B ' t dt dt C 2 1 0,3t 0,3 1 0,3t
5. 10000 11500 Mà B 0 500 C 500 C 3 1 0,3.0 3 10000 11500 Do đó: B t 3 1 0,3t 3 10000 11500 Nước trong hồ vẫn an toàn khi chỉ khi B t 3000 3000 t 10 3 1 0,3t 3 Vậy kể từ ngày thứ 10, nước hồ không còn an toàn. Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Một lon nước soda 80F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 32F . Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức T (t) 32 48.(0.9)t . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là50F ? A. 1,56. B. 9,3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. to Gọi to là thời điểm nhiệt độ lon nước 80F T to 32 48. 0,9 80 (1) to Gọi t1 là thời điểm nhiệt độ lon nước 50F T t1 32 48. 0,9 50 (2) to (1) 0,9 1 to 0 t 3 3 (2) 0,9 1 t log 9,3 8 1 0,9 8 Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là bao nhiêu? A. 115 250 000 . B. 101 250 000 . C. 100 000 000 . D. 100 250 000. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi x (đồng/tháng) (x > 0) là giá cho thuê mới. x Þ Số căn hộ bị bỏ trống là căn hộ 50 000 æ x ö Þ Số tiền công ty thuê được T (x)= (2 000 000+ x)ç50- ÷ èç 50 000ø÷ Khảo sát hàm số T (x) trên (0;+ ¥ )
6. x Þ T ¢(x)= 10- Þ T ¢(x)= 0 Û x = 250 000 . 25 000 Bảng biến thiên Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là: T 101 250 000 . Câu 13: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao 2 mực nước bằng chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống 3 thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu? A. .0 ,33 B. . 0,11 C. . 0,21 D. 0,08 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là h và R . Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình 2h nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là 3 2R và . 3 8V Do đó thể tích lượng nước trong bình là Phần không 27 19 chứa nước chiếm V. 27 Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón và ta gọi h' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước đó. R ' h' 19 Ta có và phần thể tích hình nón không chứa nước là V R h 27 3 3 h' 2 19 h 2 h' 19 h' 19 . R ' . . R . 3 27 3 h 27 h 3
7. Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp h' 3 3 19 ngược ly là1 . h 3 Câu 14: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so với đầu năm. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau n năm, đơn vị tiền tệ sẽ mất đi ít nhất 90% giá trị của nó? A. 16 B. 18. C. 20. D. 22. Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi x x 0 là giá trị tiền tệ lúc ban đầu. Theo đề bài thì sau 1 năm, giá trị tiền tệ sẽ còn 0,9x . Cuối năm 1 còn 0,9x Cuối năm 2 còn 0,9.0,9x 0,92 x Cuối năm n còn 0,9n x Ycbt 0,9n x 0,1x n 21,58 . Vì n nguyên dương nên n 22 . Câu 15: (NGÔ GIA TỰ - VP) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m . Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000đ /m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? A. 15.844.000. B. 13.627.000. C. 16.459.000. D. 14.647.000. Hướng dẫn giải Chọn A. Diện tích xung quanh của một cái cột được tính bởi công thức: Sxq 2 Rh Tổng diện tích xung quanh của 10 cái cột là: 4. 2 .0,2.4,2 6. 2 .0,13.4,2 13,272 Tổng số tiền cần chi là: 13,272 380.000 15.844.000 . Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s mét đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t giây , hàm số đó là s 6t 2 – t3 . Thời điểm t giây mà tại đó vận tốc v m/s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là A. t 4s . B. t 2s . C. t 6s . D. t 8s . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Hàm số vận tốc là v s t 3t 12t , có GTLN là vmax 12 tại t 2 Câu 17: (LÝ THÁI TỔ -HN) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
8. 500 5 500 5 A. 3 cm . B. 10.3 cm . C. cm . D. 10. cm . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi h cm là chiều cao hình trụ và R cm là bán kính nắp đậy. 1000 Ta có: V R2h 1000 . Suy ra h . R2 Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần Stp của hình trụ nhỏ nhất. 1000 Ta có: S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R. tp R2 1000 1000 1000 1000 2 R2 3.3 2 R2. . 33 2 .10002 R R R R 1000 500 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 R2 R 3 . R Câu 18: (LÝ THÁI TỔ -HN) Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 4 năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu lần diện tích hiện nay? 4 4 4x x4 x x A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 100 100 100 100 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi S0 là diện tích rừng hiện tại. n x Sau n năm, diện tích rừng sẽ là S S0 1 . 100 4 x Do đó, sau 4 năm diện tích rừng sẽ là 1 lần diện tích rừng hiện tại. 100 Câu 19: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 3,67cm .B. 2,67cm .C. 3,28cm . D. 2,28cm . Hướng dẫn giải Chọn D. Thành cốc dày 0,2cm nên bán kính đáy trụ bằng 2,8cm . Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình trụ bằng 8cm . Thể tích khối trụ là V . 2,8 2 .8 197,04 cm3 . Đổ 120ml vào cốc, thể tích còn lại là 197,04 120 77,04 cm3 . 4 Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng V 5. . .13 20,94 (cm3 ) . bi 3
9. Thể tích cốc còn lại 77,04 20,94 56,1 cm3 . Ta có 56,1 h'. . 2,8 2 h' 2,28 cm . Cách khác: Dùng tỉ số thể tích 2 V h 8. 2,8 . 8 Tr coc h 5,72 V V h 4 h nuoc bi nuoc bi nuoc bi 120 5. . nuoc bi 3 Chiều cao còn lại của trụ là 8 5,72 2,28 . Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là 2,28cm . Câu 20: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20cm, đường kính hai đáy lần lượt là 10cm và 20cm . Cô giáo giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy). Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 1942,97cm2. B. 561,25cm2. C. 971,48cm2. D. 2107,44cm2. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có Sxq r1 r2 l Với r1 5 , r2 10 2 2 2 2 l h r2 r1 20 10 5 5 17 Vậy Sxq 5 10 5 17 75 17 971,48 Câu 21: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a m / s2 . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây. A. 3;4 . B. 4;5 . C. 5;6 .D. 6;7 . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi x t là hàm biểu diễn quãng đường, v t là hàm vận tốc. t Ta có: v t v 0 a dt at v t at 15 . 0 t t 1 x t x 0 v t dt at 15 dt at 2 15t 0 0 2 1 x t at 2 15t 2 at 15 0 v t 0 15 8 45 Ta có: 1 2 t 15t 20 t a . x t 20 at 15t 20 2 3 8 2 Câu 22: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi
10. k công thức L log (Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức M R2 cường độ âm tại A và B lần lượt là LA 3(Ben) và LB 5 (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy). A. 3,59 (Ben).B. 3,06 (Ben).C. 3,69 (Ben). D. 4 (Ben). Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: LA LB OA OB . Gọi I là trung điểm AB . Ta có: k k LA k LA log 2 2 10 OA L OA OA 10 A k k LB k LB log 2 2 10 OB L OB OB 10 B k k LI k LI log 2 2 10 OI L OI OI 10 I 1 k 1 k k 1 1 1 1 Ta có: OI OA OB LI LA LB LI LA LB 2 10 2 10 10 10 2 10 10 1 1 1 LI 2log LI 3,69 . LA LB 2 10 10 Câu 23: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40% . Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)? A. 726,74 triệu.B. 71674 triệu.C. 858,72 triệu. D. 768,37 triệu. Hướng dẫn giải Chọn D. Mức lương 3 năm đầu: 1 triệu Tổng lương 3 năm đầu: 36. 1 2 2 Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1 Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 5 5 2 2 2 2 Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1 Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 5 5 3 3 2 2 Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1 Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 5 5 4 4 2 2 Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1 Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 5 5 5 5 2 2 Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1 Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 5 5 6 6 2 2 Mức lương 2 năm tiếp theo: 1. 1 Tổng lương 2 năm tiếp theo: 24 1 5 5 Tổng lương sau tròn 20 năm là
11. 2 5 6 2 2 2 2 S 36 1 1 1 1 24 1 5 5 5 5 6 2 1 1 1 6 5 2 36. 24 1 768,37 2 5 1 1 5 Câu 24: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 106,25triệu đồng. B. 120triệu đồng. C. 164,92 triệu đồng. D. 114,64 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi M là điểm trên đoạn AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C . Đặt BM x AM 4 x CM 1 4 x 2 17 8x x2 , x 0;4 Khi đó tổng chi phí lắp đặt là : y x.20 40 x2 8x 17 đơn vị là triệu đồng. x 4 x2 8x 17 2 x 4 y 20 40. 20. . x2 8x 17 x2 8x 17 12 3 y 0 x2 8x 17 2 4 x x 2 12 3 Ta có y 80 20 3 114,64; y 0 40 17 164,92; y 4 120 . 3 Vậy ta chọn đáp án D. Câu 25: (SỞ GD HÀ NỘI) Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiểu x ( triệu đồng, x ¥ ) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mua một chiếc xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng A. 154 triệu đồng.B. 150 triệu đồng. C. 140 triệu đồng.D. 145 triệu đồng. Hướng dẫn giải Chọn D. n Áp dụng công thức lãi kép : Pn x 1 r Trong đó Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
12. x là vốn gốc, r là lãi suất mỗi kì. Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : P x x 1 r n x x 1 r n 1 (*) n Áp dụng công thức (*) với n 3,r 6,5% , số tiền lãi là 30 triệu đồng. 3 Ta được 30 x 1 6,5% 1 x 144,27 Số tiền tối thiểu là 145 triệu đồng. Câu 26: (SỞ GD HÀ NỘI) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1(t) 7t (m/s). Đi được 5 (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 70 (m/s 2 ). Tính quãng đường S (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S 95,70 (m). B. S 87,50 (m).C. S 9 4(m).,00 D. (m).S 96,25 Hướng dẫn giải Chọn D. Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe lăn bánh đến khi được phanh: 5 5 5 t 2 S v (t)dt 7tdt 7 87,5 (m). 1 1 0 0 2 0 Vận tốc v2 (t) (m/s) của ô tô từ lúc được phanh đến khi dừng hẳn thoả mãn v (t) ( 70)dt= 70t C , v (5) v (5) 35 C 385 . Vậy v (t) 70 t 385 . 2 2 1 2 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn v2 (t) 0 t 5,5 (s). Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn: 5,5 5,5 S v (t)dt ( 70t 385)dt 8,75 (m). 2 1 5 5 Quãng đường cần tính S S1 S2 96,25 (m). Câu 27: (SỞ GD HÀ NỘI) Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2, chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m 2. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất đượC. (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể). A. 57582 thùng. B. 58135 thùng. C. 18209 thùng.D. thùng.12525 Hướng dẫn giải Chọn B.
13. Gọi chiều cao hình trụ là h h 0 (m). Bán kính đáy hình trụ là x x 0 (m). 5 5 Thể tích khối trụ là : V x2h h (m). 1000 1000 x2 1 Diện tích mặt xung quanh là : S 2 xh . xq 100x 2 Diện tích hai đáy là : Sđ 2 x 1000 Số tiền cần làm một thùng sơn là : f x 240000 x2 x 0 x 1000 1 Ta có : f x 480000 x f x 0 x . x2 3 480 Bảng biến thiên : x 0 1 3 480 f x 0 f x 17201.05 109 Vậy với số tiền 1 tỉ đồng thì công ty có thể sản xuất tối đa là : 58135 thùng. 17201.05 Câu 28: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và 16 đo được thể tích nước trào ra ngoài là (dm3 ) . Biết 9 rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy R của bình nước. A. R 3(dm). B. R 4(dm). C. R 2(dm). D. R 5(dm). Hướng dẫn giải Chọn C.
14. Gọi h,h' lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ. R,r lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ. Theo đề ta có: h 3R,h' 2R. r IM SI h h' 3R 2R 1 Xét tam giác SOA ta có: R OA SO h 3R 3 1 R2 2 R3 16 r R . Ta lại có: V r 2h'  2R 3 trô 9 9 9 R3 8 R 2 dm. Câu 29: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Ông Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là 12% một năm. Sau n năm ông Nam rút toàn bộ tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm n nguyên dương nhỏ nhất để số tiền lãi nhận được hơn 40 triệu đồng. (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không thay đổi). A. 5 . B. 2 .C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Số tiền thu được cả gốc lẫn lãi sau n năm là C 100(1 0,12)n Số tiền lãi thu được sau n năm là L 100(1 0,12)n 100 7 7 L 40 100(1 0,12)n 100 40 1,12n n log 2,97. 5 1,12 5 Câu 30: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 hành khách. 2 x Nếu một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 3 40 (USD). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 45 hành khách. B. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135 (USD). C. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách. D. Một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160 (USD). Hướng dẫn giải Chọn D Số tiền thu được khi có x khách là 2 x f (x) x 3 40 2 x 1 x x x x x 3x Ta có f '(x) 3 2. 3 x 3 3 3 3 40 40 40 40 40 20 40 40 x 3x x 120 f '(x) 0 3 3 0 40 40 x 40 f (40) 160 f (60) 135 Vậy max f (x) f (40) 160 . x [0;60]
15. Câu 31: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m / s . Gia tốc trọng trường là 9,8 m / s2 . Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất. A. S 88,2m. B. S 88,5m. C. S 88m. D. S 89 m. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quảng đường đi được là v v0 2as nên 2 2 quãng đường đi được từ lúc bắn lên đến khi dừng lại là : v v0 s . v2 v2 0 29,42 s 0 44,1 2a 2.9.8 Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là S 44,1.2 88,2m . Câu 32: (BẮC YÊN THÀNH)Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm , AB 40cm . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng A. 4000 3 cm3 B. 2000 3 cm3 C. 400 3 cm3 D. 4000 2 cm3 Hướng dẫn giải Chọn A. Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh bên bằng x , cạnh đáy bằng 60 2x Đường cao tam giác đó là 2 2 60 2x AH x 60x 900 , 2 với H là trung điểm NP Diện tích đáy là 1 1 S S AH.NP 60x 900. 30 x 60x 900 900 30x 900 30x ANP 2 30 3 1 900 2 S 100 3 cm 30 3 Diện tích đáy lớn nhất là 100 3cm2 nên thể tích lớn nhất là V 40.100 3 4000 3 cm3 . Câu 33: (BẮC YÊN THÀNH) Ông A gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% trên năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. sau thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần nào thì số tiền mà ông A nhận được tính cả gốc lẫn lãi là A. 108.(1 0,07)10 .B. 108.0,0710 . C. 108.(1 0,7)10 .D. 108.(1 0,007)10 .
16. Hướng dẫn giải Chọn A. Theo công thức lãi kép C A 1 r N với giả thiết A 100.000.000 108;r 7% 0,07 và N 10 . Vậy số tiền nhận được 108.(1 0,07)10 , nên chọn A. Câu 34: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất. V V V V A. R 2h 2 3 . B. R 2h 2 . C. h 2R 2 . D. h 2R 2 3 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. 2 Ta có: Stp 2 R 2 Rh . V Do V R2h nên h . Suy ra R2 V V V V V S 2 R2 2 R. 2 R2 3.3 2 R2. . 3.3 2 V 2 . tp R2 R R R R V V V Đẳng thức xảy ra khi 2 R2 R 3 . Khi đó h 2 3 . R 2 2 Câu 35: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5cm , chiều dài 6cm . Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm 5cm 6cm . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn? A. 17 . B. 15. C. 16. D. 18. Hướng dẫn giải Chọn C. Có 3 cách xếp phấn theo hình vẽ dưới đây: A M B C H 2 H 1 H 3
17. ✓ Nếu xếp theo hình H1: vì đường kính viên phấn là 2.0,5 1cm nên mỗi hộp xếp được tối đa số viên phấn là: 6.5 30 . ✓ Nếu xếp theo hình H 2 : hàng 6 viên xen kẽ hàng 5 viên. Gọi số hàng xếp được là n 1,n Z . 3 Ta có ΔABC đều cạnh bằng 1 CM . 2 3 8 Ta phải có 2.0,5 n. 5 n xếp tối đa được 5 hàng mỗi hộp xếp được tối 2 3 đa số viên phấn là:3.6 2.5 28 . ✓ Nếu xếp theo hình H3 :hàng 5 viên xen kẽ hàng 4 viên. Gọi số hàng xếp được là m 1,m Z . 3 10 Ta phải có 2.0,5 m. 6 m xếp tối đa được 6 hàng nên mỗi hộp xếp 2 3 được tối đa số viên phấn là:3.5 3.4 27 . Vậy, xếp theo hình H1 thì xếp được nhiều phấn nhất, nên cần ít hộp nhất. Ta có 460 :30 15,3 cần ít nhất 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn. Câu 36: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc v0 15m / s thì tăng vận tốc với gia tốc a t t 2 4t m / s2 . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 68,25m . B. 70,25m .C. 69,75m . D. 67,25m . Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 v t t 2 4t dt t3 2t 2 C . Mà v 0 15 C 15 nên v t t3 2t 2 15 3 3 3 1 1 2 279 S t t3 2t 2 15 dt t 4 t3 15t 3 69,75 m . 0 0 3 12 3 4 Câu 37: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là 64 m3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất. A. r 3 m . B. r 3 16 m . C. r 3 32 m . D. r 4 m . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi hình trụ có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . 64 64 64 Ta có: V r 2h h l r 2 r 2 r 2 Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất. 128 Ta có: S 2S S 2 r 2 2 rl 2 r 2 . tp day xq r
18. 128 Xét hàm số f r 2 r 2 với r 0 . r 128 Ta có f r 4 r ; f r 0 r 3 32 . r 2 Lập bảng biến thiên ta có f r đạt GTNN khi r 3 32 . Câu 38: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bèo sinh sôi 1 phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng 5 bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. 12 A. 12 log5 (giờ).B. (giờ).C. 12 log 2 (giờ). D. 12 ln 5 (giờ). 5 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta gọi ui là số lá bèo ở giờ thứ i. 0 2 12 Ta có u0 1 10 ,u1 10,u2 10 , ,u12 10 . 1 1 1 Ta có số lá bèo để phủ kín mặt hồ là .1012 thời gian mà số lá bèo phủ kín mặt hồ 5 5 5 là 12 log5. Câu 39: (SỞ BÌNH PHƯỚC) Một người nuôi cá thì nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng nếu mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n 480 20n gam . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 12. B. 14. C. 10. D. 18. Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1: Thế đáp án: Số cá trên mỗi đơn 12 14 10 18 vị diện tích Số cân nặng: 2880 2800 2800 2160 480 20n n(gam) Cách 2: Số cân nặng của n con cá là: f (n) 480 20n n 20n2 480n 20(n 12)2 2880 2880 Vậy giá trị lớn nhất của f (n) là 2880 đạt được khi n 12 .
19.  Chú ý: hàm f như một hàm số theo biến số thực, chứ không phải biến số nguyên dương Câu 40: (SỞ BÌNH PHƯỚC) Một khối cầu có bán kính là 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 100 43 A. dm3 B. dm3 C. 3 3 41 dm3 D. 132 dm3 Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C) : (x 5)2 y2 25. Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của C quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng H giới hạn bởi nửa trên trục Ox của C , trục Ox , hai đường thẳng x 0, x 2 quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có (x 5)2 y2 25 y 25 (x 5)2 Nửa trên trục Ox của C có phương trình y 25 (x 5)2 10x x2 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho H quay quanh Ox là: 2 2 3 2 2 x 52 V1 10x x dx 5x 3 3 0 0 4 500 Thể tích khối cầu là: V .53 2 3 3 500 52 3 Thể tích cần tìm: V V2 2V1 2. 132 dm 3 3 Câu 41: (SỞ BÌNH PHƯỚC) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S A.ert , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi số con vi khuẩn sau 10 giờ ? A. 1000. B. 850 . C. 800 . D. 900 . Hướng dẫn giải Chọn D.