Ôn TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình mũ và phương trình logarit

Nội dung tài liệu: Ôn TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình mũ và phương trình logarit

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 3 SINH HOẠT CHUYÊN MÔN CỤM THPT THUẬN THÀNH THÁNG 12 NĂM 2019 MÔN TOÁN HỌC - ÔN THI THPT QUỐC GIA CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I) PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1). Phương trình mũ cơ bản: Là phương trình dạng: ax = b (*) với a, b cho trước và 0 0: a b x loga b (0 0) 2) Phương pháp giải phương trình mũ a. Phương pháp đưa về cùng cơ số f x g x 0 a 1 a a a 1 hoặc f x g x b. Phương pháp dùng ẩn phụ. Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau: B1: Đưa pt về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải pt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT mũ cơ bản B5: Kết luận. Sau đây là một số dấu hiệu. Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua a f() x đặt t = a f() x Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: A. a2f ( x ) B . a f ( x ) C 0 bậc 2 ẩn t. + Dạng 2: A. a3f ( x ) B . a 2 f ( x ) C . a f ( x ) D 0 bậc 3 ẩn t. Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với a f() x và b f() x . Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: A. a2f ( x ) B .( a . b ) f ( x ) C . b 2 f ( x ) 0 Chia 2 vế cho a 2f ( x ) loại 1(dạng 1) + Dạng 2: A. a3()f x B .( a 2 . b ) f () x C ( a . b 2() ) f x D . b 3() f x 0
2. Chia 2 vế cho a3f ( x ) loại 1(dạng 2) Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho anf() x hoặc bnf() x với n là số tự nhiên lớn nhất có trong pt Sau khi chia ta sẽ đưa được pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A. af()() x B b f x C 0 với a.b = 1 + Dạng 2: A. af()()() x B b f x C . c f x 0 , với a.b = c2 Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t = a f() x b f() x = 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt cho c f() x để đưa về dạng 1. Loại 4: Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích: f x g x ● u v uv 1 u 1 v 1 0 với đặt u a , v b u 0, v 0 f x g x ● Au Bv Av Bu ABuv 0 với đặt u a , v b u 0, v 0 c. Phương pháp logarit hóa Đôi khi ta không thể giải một PT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng af()()() x b g x c h x d ( nói chung là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). Dạng hay gặp f x 0 a 1, b 0 ● Phương trình a b . f x loga b f x g x f x g x ● Phương trình a b loga a log a b f x g x .log a b f x g x hoặc logba log b b f x .log b a g x . d.Giải bằng phương pháp đồ thị o Giải phương trình: ax f x 0 a 1 . o Xem phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y a x 0 a 1 và y f x . Khi đó ta thực hiện hai bước: 0 a 1 y f x Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y ax và . Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
3. Tính chất 1. Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên a; b thì số nghiệm của phương trình f x k trên a; b không nhiều hơn một và f u f v u v, u,; v a b . Tính chất 2. Nếu hàm số y f x liên tục và luôn đồng biến ; hàm số y g x liên tục và luôn nghịch biến trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x không nhiều hơn một. Tính chất 3. Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình fufv uv hoac uv ,  uvD , . Tính chất 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp k liên tục trên a; b . Nếu phương trình f k x 0 có đúng m nghiệm thì phương trình f k 1 x 0 có nhiều nhất là m 1 nghiệm. f. Sử dụng đánh giá Giải phương trình f x g x . f x m f x m f x g x g x m g x m Nếu ta đánh giá được thì . II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình lôgarit cơ bản: b PT logax = b ( a > 0, a 1) luôn có nghiệm duy nhất x = a với mọi b 2.Cách giải một số phương trình logarit đơn giản : a. Đưa về cùng cơ số: b f( x ) 0 loga f ( x ) b f(x) = a logaf ( x ) log a g ( x ) với mọi 0 a 1 f()() x g x Lưu ý rằng với các PT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0. b. Đặt ẩn phụ Với các PT mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x). Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT có nghĩa. c. Mũ hóa
4. Đôi khi ta không thể giải một PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay t dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = a PT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau Dạng 1: loga f x b Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: 0 a 1 Từ phương trình loga f x b b . f x a Dạng 2: loga f x g x Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: 0 a 1 Từ phương trình loga f x g x g x . f x a Dạng 3: logaf x log b g x t f x a Phương pháp giải: Đặt logf x log g x t . Khử x trong a b t g x b hệ phương trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x. d. Phương pháp đồ thị , hàm số và đánh giá: Tương tự như phương trình mũ B. BÀI TẬP CÁC DẠNG : I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1) Phương trình cơ bản Câu 1: Phương trình 8x 4 có nghiệm là 2 1 1 A. x . B. x . C. x . D. x 2. 3 2 2 Lời giải Chọn A. x 2 2 Ta có: 8 4 x log 4 x log3 2 8 2 3 Câu 2:Nghiệm của phương trình 2x 2 x 1 3 x 3 x 1 là: 3 2 A. x log 3 . B. x 1. C. x 0 . D. x log 4 . 2 4 3 3 Lời giải x x x 1 x x 1 x x 3 3 3 22 33 3.24.3 x log 3 2 4 4 2
5. x x x 1 Câu 3: Nghiệm của phương trình 12.3 3.15 5 20 là: A. x log3 5 1. B. x log3 5 . C. x log3 5 1. D. x log 3 1. 5 Lời giải 12.3x 3.15 x 5 x 1 20 3.3x 5 x 4 5 5 x 4 0 5x 4 3 x 1 5 0 x 1 3 5 x log3 5 1 2 1 Câu 4:Tập nghiệm của phương trình 2x x 4 là 16 A. 2; 2 . B. . C. 2;4 . D. 0;1 . Lời giải Chọn D. x2 x 4 4 2 2 x 0 Ta có 2 2 x x 4 4 x x 0 . x 1 x x 1 Câu 5: Phương trình 3 .5 7 có nghiệm là A. log15 35. B. log21 5. C. log21 35. D. log15 21. Lời giải Chọn A. x PT 15 35 x log15 35 Câu 6: Tìm các nghiệm của phương trình 2x 2 8 100 . A. x 204 . B. x 102 . C. x 302 . D. x 202 . Lời giải Chọn C. x 2 100 x 2 300 2 8 2 2 x 2 300 x 302 x Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình 2x 3 . A. x 1. B. x 1. C. x 0 . D. x 2. Lời giải Chọn C. x x x 2 2 3 1 x 0. 3 2 Câu 8: Số nghiệm của phương trình 22x 7 x 5 1 là: A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D. Phương pháp: +Giải phương trình tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
6. + Áp dụng công thức lũy thừa ta được phương trình tương đương với: 2x2 7 x 5 0 . 5 Cách giải: Phương trình có 2 nghiệm là: x 1 và x . 1 2 2 Câu 9: Cho phương trình: 3x m 1. Chọn phát biểu đúng A. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m. B. Phương trình có nghiệm với m 1. C. Phương trình có nghiệm dương nếu m 0. D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất x log3 m 1 . Lời giải Chọn C. + A sai vì với m 2 phương trình đã cho 3x 1(Vô lý). + B sai vì với m 1 phương trình đã cho 3x 0 (Vô lý). + C đúng. Vì với m 0 phương trình đã cho x log3 m 1 0 do 3 1và m 1 1. + D sai vì với m 2 thì log3 m 1 không tồn tại. 2) Phương pháp quy về cùng cơ số: 2 Câu 1: Tập nghiệm của phương trình 2x 5 x 6 1 là A. 1;2 . B. 1;6 . C. 6; 1 . D. 2;3 . Lời giải Chọn D. 2 2 2x 5 x 6 1 2 x 5 x 6 2 0 x 2 5 x 6 0 x 2hoặc x 3 . 2 Câu 2: Phương trình 2x 9 x 16 4có nghiệm là A. x 2 , x 7 . B. x 4 , x 5 . C. x 1, x 8 . D. x 3, x 6 . Lời giải Chọn A x2 9 x 16 2 2 x 7 Ta có: 2 4 x 9 x 16 2 x 9 x 14 0 . x 2 4 2 Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình 3x 3 x 81. A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A. Ta có 2 4 2 x 1 3x 3 x 81 4 2 4 2 x2 4 x 2 x 3 x 4 x 3 x 4 0 2 x 4
7. 4 2 Vậy Tổng các nghiệm của phương trình 3x 3 x 81bằng 0 . x 32x 6 1 Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình . 27 3 A. x 4 . B. x 2 . C. x 5 . D. x 3 . Lời giải Chọn D. x x 32x 6 1 3 2 x 1 6 27 3 3 .27 3 32x 3 x 32 x 9 3 x 2x 9 x x 3 . 39 x2 3x 2 1 Câu 5:Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 5 bằng: 5 A. 0. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B. x2 3x 2 1 3 x 2 x2 2 x 1 Ta có 5 5 5 3x 2 x . 5 x 2 Vậy tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 . 28 x 4 2 Câu 6:Cho phương trình: 23 16x 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên. C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. D. Phương trình vô nghiệm. Lời giải x 1  x 1 x 1  x 1 28 2 x 3 x 4 2 3 x 128 2 2 x 3  x 2 16 x 4 4 x 1 7x 3 3x 3 3 7 3 x 7x 3 3x2 3 7 3 x 0  x 3 . 7  Nghiệm của phương trình là : S ;3  . 3  7 Vì .3 7 0 . 3 Chọn A. 3)Phương pháp đặt ẩn phụ :
8. Câu 1 : Cho phương trình 4x 2 x 1 3 0. Khi đặt t 2x ta được phương trình nào sau đây A. 2t2 3 t 0 B. 4t 3 0 C. t2 t 3 0 D. t2 2 t 3 0 Lời giải Chọn D Phương trình 4x 2.2 x 3 0 2 2 2 Câu 2: Tập nghiệm của phương trình 5x 4 x 3 5 x 7 x 6 5 2 x 3 x 9 1 là A. 1; 1;3 . B. 1;1;3;6 . C. 6; 1;1;3. D. 1;3 . Lời giải Chọn C 2 2 x2 4 x 3 x 2 7 x 6 2 x 2 3 x 9 x2 4 x 3 x 2 7 x 6 x 4 x 3 x 7 x 6 5 5 5 1 5 5 5 1. a x2 4 x 3 Đặt , ta được phương trình: 2 b x 7 x 6 a a b a b a b a b a b 5 1 a 0 5 5 5 1 5 5 5 .5 1 1 5 1 5 0 b 5 1 b 0 x 1 x2 4 x 3 0 x 3 Khi đó . 2 x 7 x 6 0 x 1 x 6 Tập nghiệm của phương trình là 6; 1;1;3. Câu 3: Phương trình 9x 6 x 22 x 1 có bao nhiêu nghiệm âm? A. 2. B. 3. C. 0 . D. 1 . Lời giải Chọn C 2 x x x x2 x 1 x x x 3 3 Phương trình 9 6 2 9 6 2.4 2 . 2 2 x 3 2 t 1 (L) Đặt t với t 0 , phương trình trở thành t t 2 0 . 2 t 2 x 3 Với t 2 2 x log3 2 0 . 2 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Câu 4:Tổng các nghiệm của phương trình 4x 6.2 x 2 0 bằng A. 0 . B. 1. C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn B
9. x x log 3 7 2 2 3 7 2 4x 6.2 x 20 2 x 6.2 x 20 . 2x 3 7 x log 3 7 2 Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là log 3 7 log 3 7 log 3 7 3 7 log 2 1. 2 2 2 2 Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình 3x 1 3 1 x 10 là A. 1. B. 0. C. 1. D. 3. Lời giải 3 Chọn B .Ta có: 3x 1 3 1 x 10 3.3 x 10 3x t 3 x 3 2 Đặt t 3 t 0 , phương trình trở thành: 3t 10 3 t 10 t 3 0 1 . t t 3 Với t 3 ta có 3x 3 x 1 . 1 1 Với t ta có 3x 3 x 3 1 x 1. 3 3 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 1 1 0 . x x Câu 6 :Gọi x1, x 2 là nghiệm của phương trình 2 3 2 3 4 . Khi 2 2 đó x1 2 x 2 bằng A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B x x x x 1 Ta có: 2 3 . 2 3 1. Đặt t 2 3 , t 0 2 3 . t 1 Phương trình trở thành: t 4 t2 4 t 1 0 t 2 3 . t x Với t 2 3 2 3 2 3 x 1. x x 1 Với t 2323232323 x 1. 2 2 Vậy x1 2 x 2 3. 2x 1 x 1 x x Câu 7: Phương trình 6 5.6 1 0 có hai nghiệm 1 , 2 . x x Khi đó tổng hai nghiệm 1 2 là. A. 5. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn D x 62x 5.6 x 61 2 62x 1 5.6 x 1 10 1065.660 2 x x . x 6 6 62 3
10. x1 x 2 x 1 x 2 6 .6 3.2 6 6 x1 x 2 1. Câu 8: Cho hàm số f x x.5x . Tổng các nghiệm của phương trình 25x f ' x x .5.ln52 x 0 là A. 2 B. 0 C. 1 D. 1 lời giải: Chọn B Ta có f x x.5x f ' x 5 x x .5 x .ln5 Nên 25x f ' x x .5.ln520 x 25 x 5 x 20 Đặt t 5x t 0 t 1 2 x Ta được phương trình t t 2 0 5 1 x 0 t 2 l x x Câu 9: Phương trình 2 1 2 1 2 2 0 có tích các nghiệm là? A. 0. B. 2. C. 1. D. 1. Lời giải x x 1 Chọn C . Đặt t 2 1 (t > 0) 2 1 t Phương trình đã cho trở thành 1 t 2 2 0 t t2 2 2 t 1 0 t 1 2 t 1 2 x Với t 1 2 2 1 1 2 x 1 x Với t 1 2 2 1 1 2 x 1 Vậy tích 2 nghiệm của phương trình đã cho là 1 x2 x x 2 x 1 Câu 10: Gọi x1; x 2 là 2 nghiệm của phương trình 4 2 3 .Tính x1 x 2 A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn D 2 Đặt 2x x t ( t 0) . Phương trình tương đương với 2 t 1 t 2 t 3 0 t 3 2 x 0 Vì t 0 t 1 x x 0 x1 x 2 1 x 1
11. 41 x 4 1 x 2 2 2 x 2 2 x 8 Câu 11: Giải phương trình: Lời giải 442221 x 1 x 2 x 2 x 844422 1 x 1 x 1 x 1 x 8 Đặt t 21 x 2 1 x t 2 4 1 x 4 1 x 8 Phương trình trở thành: 1 x 1 x t 0 21 x 2 1 x 0 2 1 x 2 1 x x 0 t2 4 t 2x 1 2 ( VN ) 1 x 1 x 2 x x t 4 2 2 4 2 2.2 1 0 x log2 1 2 x 2 1 2 Câu 12: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 16x m .4 x 1 5 m 2 45 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 6 B. 4 C. 13 D. 3 Lời giải Chọn D Đặt t 4x , t 0 . Phương trình trở thành: t2 4 mt 5 m 2 45 0 (1). Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t 0. 2 ' 0 m 45 0 3 5 m 3 5 2 P 0 5m 45 0 m 3  m 3 3 m 3 5 . S 0 4m 0 m 0 Vì m nguyên nên m 4;5;6. Vậy S có 3 phần tử. Câu 13: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9x 2.3 x 1 m 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x 2 1. A. m 3 B. m 1 C. m 6 D. m 3 Lời giải Chọn A Ta có 9x 2.3 x 1 m 0 32x 6.3 x m 0. Phương trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x 2 1 9 m 0 x x 31 3 2 6 0 m 3. x x 31 2 3 m
12. Câu 14: Cho phương trình m.16x 2 m 2 .4 x m 3 0 1 . Tập hợp tất cả các giá trị dương của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là khoảng a;. b Tổng T a 2 b bằng: A. 14 B. 10 C. 11 D. 7 Lời giải Chọn C +) Đặt: 4(0)1x t t m .2 t2 m 2 t m 302 +) Để 1 có 2 nghiệm phân biệt thì 2 phải có hai nghiệm dương phân biệt m 0 m 0 m 4 0 m 0 2 m 2 m m 3 0 0 m 2 3 m 4 Điều kiện: m 2 S 0 0 m 0 m 0( l ) m P 0 m 3 m 3 m 0 m 0 a 3 +) Vậy 3 m 4 a 2 b 11 b 4 Câu 15:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2 4.4x 2 x 2m 2 6 x 2 x 1 6 m 3 3 2 x 4 x 2 0 có hai nghiệm thực phân biệt. A. 4 3 2 m 4 3 2 B. m 4 3 2 hoặc m 4 3 2 1 1 C. m 1 hoặc m D. 1 m 2 2 Lời giải Chọn D 2 2 2 4.4x 2 x 2m 26 x 2 x 1 6 m 33 2 x 4 x 2 0 (1) 2 2 2 4x 2 x 1 2m 2 6 x 2 x 1 6 m 3 9 x 2 x 1 0 x2 2 x 1 x 2 2 x 1 4 2 2m 2 6 m 3 0 (2) 9 3 x2 2 x 1 ( x 1) 2 0 2 2 2  Đặt t 1. Suy ra 0 t 1 3 3 3 2 Pt (2) trở thành: t (2 m 2) t 6 m 3 0 (3) t 3 ( loai ) t 2 m 1  Để phương trình (1) có 2 nghiệm x phân biệt 2 Phương trình t (2 m 2) t 6 m 3 0 có đúng một nghiệm t thuộc khoảng 0;1 0 2m 1 1
13. 1 1 m . 2 (x 1)2 t 1 2 Chú ý: Nếu thì phương trình 1 chỉ có nghiệm duy nhất là x 1 . 3 Câu 16: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình x x 4 m .2 2 m 2019 0 có hai nghiệm trái dấu? A. 1008. B. 1007 . C. 2018 . D. 2017 . Lời giải x x 4 m .2 2 m 2019 0 Chọn A (1 ) x 2 Đặt t 2 t 0 . Phương trình (1 ) trở thành t mt 2 m 2019 0 ( 2) x; x x0 x Phương trình ( 1) có hai nghiệm 1 2 thỏa 1 2 khi và chỉ khi phương trình t; t 0t 1 t ( 2) có hai nghiệm 1 2 thỏa 1 2 2 0 0 m 4 2 m 2019 0 S t t 0 m 0 m 0 1 2 P t t0 2 m 2019 0 2019 1 2 m 2 t1 t 1 0 t t t t 1 0 1 2 1 2 1 2 2m 2019 m 1 0 2 m 8 m 8076 0  m m 0 2019 2019 m 2018 m 1010 m 2017 m 2 . Do nên 2 m 2018 Số giá trị nguyên m thỏa đề là 1008. x x Câu 17: Cho phương trình 4 15 2m 1 4 15 6 0 . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 2 x 2 0 . Ta có m thuộc khoảng nào? A. 3;5 . B. 1;1 . C. 1;3 . D. ; 1 . Lời giải Chọn A x Đặt t 4 15 , t 0 . Khi đó phương trình ban đầu trở thành: 2m 1 t 6 0 t2 6 t 2 m 1 0, t 0 (*) t
14. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 2 x 2 0 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t 2 thỏa mãn (*) 0 2 1 t1 t 2 S 0 m 4 2 P 0 t t 6 t1 t 2 6 1 2 3 Theo Viet, ta có: t1. t 2 2 m 1 t 2 2 m 1 2 2 3 t1 t 2 t 2 m 1 1 2 7 321m 3 216 m 3 212 m m 3;5 . 2 x x Câu 18:Phương trình 2 3 1 2a 2 3 4 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 x 2 log2 3 3 . Khi đó a thuộc khoảng 3 3 A. ; . B. 0; . C. ; . D. 2 2 3 ; . 2 Lời giải Chọn D x Đặt t 2 3 , t 0 1 2a Phương trình trở thành t 4 0 t2 4 t 1 2 a 0 (1) t GT: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 x 2 x x log 3 2 3 3 1 2 2 3 Khi đó t1 3 t 2 YCBT phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t1 3 t 2 0 3 2a 0 t 0; t 0 1 2 3 t1 3 a t1 t 2 4 2 a 1 t 1 t. t 1 2 a 2 a 1 1 2 t1 t 2 1 2 a t1 3 t 2 Câu 19:Biết rằng m m0 là giá trị của tham số m sao cho phương trình x x 9 2 2m 1 3 3 4 m 1 0 có hai nghiệm thực x1, x 2 thỏa mãn x1 2 x 2 2 12 . Khi đó m0 thuộc khoảng nào sau đây
15. A. (3;9) . B. 9; + . C. 1;3 . D. -2; 0 . Lời giải Chọn C 9x 22 m 13 x 34 m 1 0 (1) x 2 t 3 Đặt t 3 , t 0. Pt(1) trở thành: t 2 2 m 1 t 3 4 m 1 0 . t 4 m 1 1 Để pt(1) có 2 nghiệm thì điều kiện cần và đủ là 4m 1 0 m . 4 Khi đó pt (1) có hai nghiệm x1 1 và x2 log 3 4 m 1 . Từ giả thiết x 2 x 2 12 3 log 4m -1 2 12 log 4m 1 2 1 2 3 3 1 5 m . 32 1 . Vậy m 1;3 . 4 2 Câu 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2 94x x 4.3 4 x x 2m 1 0 có nghiệm? A. 27 . B. 25 . C. 23. D. 24 . Lời giải Chọn B ĐKXĐ: x 0;4. Đặt t 4 x x2 với x 0;4 thì t 0;2 Đặt u 3t với t 0;2 thì u 1;9 Khi đó, tìm m đề phương trình u2 4 u 2 m 1 0 có nghiệm thuộc đoạn1;9. 2m u2 4 u 1, với u 1;9 Xét hàm số f u u2 4 u 1. f u 2 u 4 0 u 2. Ta có, f 1 4 , f 2 5, f 9 44 . 5 Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 44 2m 5 22 m . 2 Vậy có 25 số nguyên của tham số m . Câu 21 : Gọi a; b là tập các giá trị của tham số m để phương trình 2e2 x 8 e x m 0 có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; ln 5 . Tổng a b là A. 2. B. 4. C. 6. D. 14 . Lời giải Chọn D Đặt t ex ; x 0;ln 5 tương ứng t 1;5 . Phương trình thành 2t2 8 t m . Xét hàm số f t 2 t2 8 t với t 1;5 có f t 4 t 8
16. Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; ln 5 khi phương trình f t m có hai nghiệm t 1;5 8 m 6 . Câu 22: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương x x trình 2 1 m 2 1 8 có hai nghiệm dương phân biệt. Số phần tử của S bằng A. 8. B. 7. C. 10. D. 9. Lời giải Chọn A x x x x 1 Đặt 2 1 t , t 0 . Vì 2 1 . 2 1 1 nên 2 1 . t Phương trình đã cho trở thành m t 8 t2 8 t m (*). t Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Xét f t t2 8 t , trên 1; . Ta có f t 2 t 8. f t 0 t 4 Bảng biến thiên của hàm f t Từ bảng biến thiên ta có (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi 16 m 7. Vậy số phần tử của S là 8. Câu 23:Tìm số giá trị nguyên của tham số m 10;10 để phương trình 2 2 x x 2 10 1 m 10 1 2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 14 . B. 15. C. 13. D. 16 . Lời giải
17. Chọn B x2 x 2 x2 x 2 x2 1 10 1 10 1 10 1 m 10 1 2.3 m 6 (1) 3 3 x2 x 2 10 1 10 1 1 Đặt t , t 0 3 3 t 1 (1) t m . 6 t2 6 t m 0 (2) t Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1. (2) m t2 6 t . Xét hàm số f( t ) t2 6 t trên khoảng (1; ) , ta có: f t 2 t 6; f t 0 t 3. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m 5 hoặc m 9 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m 10;10 nên m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;9 . Suy ra có 15 giá trị m cần tìm. 3) Phương pháp logarit hóa x x2 2 x Câu 1: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 .5 1. Khi đó tổng x1 x 2 bằng A. 2 log5 2 . B. 2 log5 2 . C. 2 log5 2 .D. 2 log2 5 . Lời giải Chọn A x x2 2 x x x 2 2 x 2 2.5 1 log2.55 0x log2 5 x 2 x 0 x log2 5 x 2 0 . x1 0 . x2 2 log 5 2 2 Câu 2. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x 2 5 x 1 là A. 1. B. 2 log3 5 . C. P log3 45.D. P log3 5 . Lời giải Chọn C
18. x2 2 x 1 2 2 3 5 x 2 x 1 log3 5 x xlog3 5 2 log 3 5 0 . 2 2 Ta có log3 5 4log 3 5 8 log3 5 2 4 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 Theo Vi-ét, ta có x1 x 2 2 log 3 5 log3 3 log 3 5 log3 45 . 2 Câu 3. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x 2 5 x 1 là A. 1. B. 2 log3 5. C. P log3 45. D. P log3 5 . Lời giải Chọn C x2 2 x 1 2 2 3 5 x 2 x 1 log3 5 x xlog3 5 2 log 3 5 0 . 2 2 Ta có log3 5 4log 3 5 8 log3 5 2 4 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 Theo Vi-ét, ta có x1 x 2 2 log 3 5 log3 3 log 3 5 log3 45 . 2 Câu 4. Cho số thực a 1, b 1. Biết phương trình ax b x 1 1 có hai nghiệm phân 2 x1 x 2 biện x1, x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4 x1 x 2 . x1 x 2 A. 4 B. 33 2 C. 33 4 D. 3 4 Lời giải Chọn C. 2 x1 x 2 logb a Ta có x 1 x logb a 0 . x1 x 2 1 Thay vào biểu thức S rồi áp dụng BĐT ta được kết quả 2 Câu 5. Cho hai số thực dương a, b lớn hơn 1 và biết phương trình ax b x 1 1 có 4 nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P loga ab . loga b A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 Lời giải 2 2 phương trình tương đương với: x x 1 loga b 0 x x log a b log a b 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 logab 4log a b 0 log a b 4 log a b 0 4 4 Khi đó P loga b 1 f t t 1 min4; f t f 4 6 loga b t Với t loga b 4. Chọn C. 4) Phương pháp đồ thị :
19. Câu 1:Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3x mx 1 có hai nghiệm phân biệt? m 0 A. m 0 . B. . C. m 2 . D. Không m ln3 tồn tại m . Lời giải Chọn B. Ta có: 3x mx 1 là phương trình hoành độ giao điểm của y 3x và y mx 1. Ta thấy y mx 1 luôn đi qua điểm cố định 0; 1 nên + Nếu m 0 thì y mx 1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y 3x tại một điểm duy nhất. + Nếu m 0 thì để đồ thị hàm số y mx 1 cắt đồ thị hàm số y 3x tại hai điểm phân biệt thì phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x tại điểm 0; 1 , tức là m ln 3 . m 0 Vậy . m ln3 5) Phương pháp hàm số Câu 1: Phương trình x 1 .2x x 1 có bao nhiêu nghiệm thực A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D. x 1 Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có x 1 .2x x 1 2 x x 1 x 1 Hàm số y 2x đồng biến trên R , hàm số y nghịch biến trên ;1 và x 1 1; . Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm. Câu 2: Phương trình: 2x 1 2x 0 có:
20. A. 1 nghiệm duy nhất thuộc vào 0; B. 1 nghiệm duy nhất. C. Vô nghiệm. D. Có 2 nghiệm phân biệt. Lời giải *Cách 1: 2x 1 2x 0 2 x 1 2 x Cách 2: Dùng Casio Nhập vào máy phương trình: 2x 1 2x SOLVE với giá trị bất kì ta được x 0 ,vậy x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét: x 0 (0; ) Chọn B. 3 2 Câu 3: Phương trình 223x .2 x 1024 x 23x 3 10 x 2 x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45. Lời giải Chọn D 3 2 3 2 Ta có 2.2102423x x x 23x 3 10 x 2 x 2 23 x x 23 x 3 x 2 10 x 10 x 2 Hàm số f t 2t t đồng biến trên nên 3 2 5 2 223x x 23x 3 x 210 10 x x 2 23 x 3 x 10 x 2 x 0 hoặc x 23 10 Tổng các nghiệm bằng 0,4347 23 Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba” 3 2 Nếu phương trình ax bx cx d 0 ( a 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì: b c d xxx ;; xxxxxx xxx 123a 122331 a 13x a Câu 4: Tính tổng các nghiệm phương trình x2.5x 1 3 x 3.5 x 1 x 2.5 x 1 3 x 0. A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn C. Cách 1: Sử dụng chức năng CALC của MTCT ta thay các đáp án vào thấy x 1 thỏa mãn. Cách 2: Biến đổi phương trình thành: 2x 1 x x 2 x x 32.5 x x 1.30 x 1 x 2.5 3 0 x 1 x x 1 x 3 x 2 .5 3 x 2 5. 1 5
21. Ta thấy phương trình 1 có vế phải là hàm nghịch biến, vế trái là hàm đồng biến nên phương trình 1 có nghiệm duy nhất x 1 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1 . Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình x 1 2 .2x 2 x x2 1 4 2 x 1 x 2 bằng A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B. x 1 2 .2x 2 x3 2 x 2.2 x 4 x 2 x2 2 x 1 2 .2x 2 x x 2 2 x 1 . x2 2 x 1 0 1 x2 2 x 1 2x 2 x 0 . x 2 2x 2 Phương trình 1 có tổng 2 nghiệm bằng 2. Xét f x 2x 2 x . Có f x 2x ln 2 2 . 2 f x 0 x log . 2 ln 2 Vì phương trình f x 0 có 1 nghiệm nên phương trình 2 có tối đa 2 nghiệm. Vì f 1 f 2 0 nên phương trình 2 có hai nghiệm x 1 và x 2 . Các nghiệm của phương trình 1 và 2 không trùng nhau. Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho 2 1 2 5 . x x x Câu 6: Phương trình 3 2 3 2 10 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A x x x x x 3 2 3 2 3 2 3 2 10 1 10 10 x x 3 2 3 2 Xét hàm số f x 10 10 Ta có: f 2 1 3 2 3 2 Hàm số f x nghịch biến trên do các cơ số 1; 1 10 10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 2 .
22. Câu 7: Phương trình 32x 2x 3 x 1 4.3 x 5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A 32x 2x 3 x 1 4.3 x 5 0 32 x 1 2x 3 x 1 4.3 x 4 0 3x 1 3 x 1 2x 4 3 x 1 0 3x 2x 5 3 x 1 0 3x 2x 5 0 Xét hàm số f x 3x 2 x 5, ta có : f 1 0 . f' x 3x ln 3 2 0;  x . Do đó hàm số f x đồng biến trên . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 1 BÌNH LUẬN Có thể đặt t 3x 0 sau đó tính delta theo x Câu 8: Tìm số nghiệm của phương trình 2x 3 x 4 x 2016 x 2017 x 2016 x . A. 1. B. 2016 . C. 2017 . D. 0 . Lời giải Chọn A. Xét phương trình 2x 3 x 4 x 2016 x 2017 x 2016 x (*) có: Vế trái (*): 2x 3 x 4 x 2016 x 2017 x f () x là hàm số đồng biến trên R . Vế phải (*): 2016 x g ( x ) là hàm số nghịch biến trên R . Khi đó phương trình (*) có không quá 1 nghiệm. Mà f(0) 2016 g (0) nên suy ra (*) có 1 nghiệm duy nhất là x 0 . Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8x 3x .4 x 3 x2 1 .2 x m 3 1 x 3 m 1 x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc 0;10 . A. 101 B. 100 C. 102 D. 103 Lời giải Chọn C 83.4x x x 3 x2 1.2 x m 3 1 x 3 m 1 x (1) 3 2x x 2 x x mx 3 mx Xét hàm số f t t3 t x x 1 2 1024 x Ta có t 2 x mà 0 x 10 12 x 10341 t 1034 0 x 10 Xét hàm số f t t3 t, t 1;1034 .
23. f t 3 t2 1 0,  t 1;1034 hay f t t3 t đồng biến trên 1;1034 2x x Suy ra 2 2x x mx m x 2x Xét hàm số g x 1, t 0;10 . x x.2x ln 2 2 x 2x x .ln 2 1 g x x2 x 2 1 g x 0 x log e ln 2 2 BBT ycbt e.ln 2 1 m 104,4 mà m Z nên m 3,104. Có tất cả 102 số nguyên m thoả mãn. Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e3m e m 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2 có nghiệm. 1 1 1 A. 0; ln 2 B. ; ln 2 C. 0; D. 2 2 e 1 ln 2; 2 Lời giải Chọn B t 2 1 Đặt t x 1 x2 t 2 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 . 2 1 x2 x 1 Ta có t' , t ' 0 x . 1 x2 2 Vậy t 1; 2 .