Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực giải toán cho học sinh Lớp 12 từ bài toán sử dụng đạo hàm

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực giải toán cho học sinh Lớp 12 từ bài toán sử dụng đạo hàm

1. i SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT TIÊN DU SỐ 1   SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ THẨM ĐỊNH, ĐÁNH GIÁ Ở CẤP NGÀNH TÊN SÁNG KIẾN: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12 TỪ BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐẠO HÀM” Tác giả sáng kiến : Nguyễn Thị Hường Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Tiên Du số 1 Bộ môn : Toán TIÊN DU, THÁNG 2 NĂM 2022
2. ii CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Cấp cơ sở đơn vị: Trường THPT Tiên Du số 1 Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành 1. Tên sáng kiến: Phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 từ bài toán sử dụng đạo hàm 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Giải tích 12. 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Nguyễn Thị Hường - Cơ quan, đơn vị: Trường THPT Tiên Du số 1 - Địa chỉ: Việt Đoàn – Tiên Du – Bắc Ninh - Điện thoại: 0919625882 - Email: huongttd12015@gmail.com 4. Đồng tác giả sáng kiến: không 5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả 6. Các tài liệu kèm theo: - Thuyết minh mô tả các giải pháp và kết quả thực hiện sáng kiến - Biên bản họp hội đồng sáng kiến cấp cơ sở Tiên du, ngày 10 tháng 2 năm 2022 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Hường
3. iii CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 từ bài toán sử dụng đạo hàm 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Tháng 9/2021 3. Các thông tin cần bảo mật (nếu có): không 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm: Cấu trúc và cách dạy truyền thống thường có hai phần riêng biệt: phần lý thuyết và tiếp sau đó là phần bài tập. Ngay trong phần lý thuyết, kiến thức lý thuyết (định nghĩa, định lý, công thức ) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập áp dụng. Dạy học kiến thức lý thuyết luôn đóng vai trò trung tâm. Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới bó hẹp chức năng của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo mà chưa thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện, bồi dưỡng, phát triển năng lực giải toán và khả năng sáng tạo cho học sinh. 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Phát triển năng lực giải toán và sáng tạo bài toán mới có vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực của học sinh. Để từ đó học sinh có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề thực tiễn cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được việc tìm ra lời giải của bài toán là một thành công và việc sáng tạo được một lớp các bài toán tương tự, liên kết nhiều đơn vị kiến thức với nhau mới là cách hiểu sâu sắc nhất một bài toán. Từ đó rất thích hợp với việc thi trắc nghiệm hiện nay và sẽ tạo ra tinh thần học tập say mê, luôn mong muốn tìm tòi cái hay, cái mới trong giải toán. 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến: Hình thành thêm năng lực giải toán, thêm kiến thức, kĩ năng giải từng dạng bài toán cơ bản về các bài toán phát triển
4. iv từ đạo hàm, rồi từ đó nhận dạng và giải quyết được các bài toán được suy luận và phát triển từ những bài toán cơ bản đó, biết cách làm và xử lí bài toán trắc nghiệm nhanh chóng, hiệu quả. 7. Nội dung: 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến: Bài toán phát triển từ đạo hàm nói chung rất đa dạng, phong phú do vậy không có một cách tổng quát nào để giải chúng vì vậy ta cần đưa ra và rèn luyện nhiều bài tập đa dạng phong phú để từ đó học sinh tự tổng hợp và liên kết được các mảng kiến thức, tự hình thành khả năng tư duy, sáng tạo trong giải toán. Biết cách phát triển bài toán mới từ những bài toán đã gặp * Kết quả của sáng kiến: Lớp Sai (%) Đúng (%) 12A6 10,64 89,36 12A7 17,28 82,72 * Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: - Một số kiến thức về hàm số, tích phân - Phát triển năng lực giải toán từ bài toán sử dụng đạo hàm 7.2. Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến đã được áp dụng trong việc giảng dạy ở lớp 12A6, 12A7 của Trường trung học phổ thông Tiên Du số 1 năm học 2021 – 2022 và đã thu được kết quả tốt. Học sinh ngoài việc nắm chắc được kiến thức, kĩ năng giải toán cơ bản thì còn được rèn luyện các bài tập tương tự, mở rộng và nâng cao phần này. Sáng kiến có thể áp dụng cho việc giảng dạy môn Toán, ôn thi cho học sinh lớp 12 ở trường trung học phổ thông Tiên Du số 1 nói riêng và học sinh toàn tỉnh nói chung. 7.3. Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến: Các bài toán phát triển từ đạo hàm là các bài toán đa dạng, phong phú và phát triển được ra rất nhiều bài toán mới mẻ đòi hỏi học sinh phải học hiểu, học có tư duy và có sáng tạo. Tôi nghĩ nếu áp dụng các giải pháp của sáng kiến vào
5. v giảng dạy lớp 12 thì làm cho các bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu, từ đó học sinh có tư duy và kĩ năng hơn với phần học này kéo theo tạo hứng thú, say mê học tập cho học sinh. Từ đó dần nâng cao chất lượng bộ môn. * Cam kết: Tôi cam đoan những điều khai trên đây là đúng sự thật và không sao chép hoặc vi phạm bản quyền. Xác nhận của cơ quan Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Hường
6. vi MỤC LỤC Nội dung Trang Phần 1. MỞ ĐẦU 1 1.1. Mục đích của sáng kiến 1 1.2. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến 2 1.3. Đóng góp của sáng kiến 2 Phần 2. NỘI DUNG 3 Chương 1. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 3 Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 6 2.1. Một số kiến thức về hàm số, tích phân 6 2.2. Phát triển năng lực giải toán từ bài toán sử dụng đạo hàm 14 Chương 3. KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN 33 KHAI CỦA SÁNG KIẾN Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 35 3.1. Kết luận 35 3.2. Kiến nghị 35 Phần 4. PHỤ LỤC 36
7. 1 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. Mục đích của sáng kiến Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ tư duy tích cực khi đứng trước một tình huống gợi vấn đề, một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục. Do đó trong dạy học toán cần rèn luyện khả năng phát hiện, khơi dậy những ý tưởng mới. Trong quá trình dạy học, người giáo viên cần tạo những tình huống có vấn đề để học sinh tìm tòi, sáng tạo. Một trong những biện pháp rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh là sáng tạo ra các bài toán mới. Đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 từ bài toán sử dụng đạo hàm” nêu một số giải pháp để rèn luyện và phát triển năng lực tạo bài toán mới từ một bài toán ban đầu. Giúp học sinh định hướng được cách thức để giải quyết một vấn đề, phát triển một bài toán thành nhiều bài toán theo các hướng khác nhau hoặc xây dựng bài toán tương tự. Từ đó giúp học sinh có ý thức tìm tòi, nghiên cứu sâu một vấn đề Toán học. Xây dựng và phát huy niềm say mê, yêu thích Toán học. Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân là phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trường phổ thông theo yêu cầu đổi mới dạy học hiện nay. 1.2. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến Sáng kiến đưa ra hai bài toán gốc thuộc chủ đề ứng dụng của đạo hàm. Từ một bài toán gốc ban đầu, phát triển, sáng tạo nhiều bài toán mới về xét sự đơn điệu, cực trị, số nghiệm phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên một đoạn của hàm số. Nêu một số giải pháp để rèn luyện và phát triển năng lực sáng tạo bài toán mới từ một bài toán ban đầu. Sáng kiến trình bày với các giải pháp: Nhắc lại số kiến thức lí thuyết liên quan về hàm số, tích phân; Phát triển năng lực giải toán từ bài toán sử dụng đạo hàm. Kết hợp giữa dạy lí thuyết với việc rèn luyện kĩ năng thực hành và liên kết kiến thức để tư duy, tìm ra mối quan hệ giữa các bài toán và tìm được lời giải cho các bài toác đó.
8. 2 Sáng kiến áp dụng lần đầu từ tháng 9/2021 đến tháng 1/2022 tại 2 lớp 12A6 và 12A7 của trường THPT Tiên Du số 1 tỉnh Bắc Ninh. Ưu điểm của sáng kiến là cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng, tư duy sáng tạo để làm bài toán trắc nghiệm về các bài toán phát triển từ đạo hàm làm cho học sinh hiểu sâu sắc kiến thức, biết liên kết các phần kiến thức và vận dụng thành thạo để giải toán. 1.3. Đóng góp của sáng kiến Giúp bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác giảng dạy. Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy toán của trường THPT Tiên Du số 1 nói riêng và các giáo viên dạy toán THPT nói chung. Giúp học sinh định hướng được cách thức để giải quyết một vấn đề, phát triển một bài toán thành nhiều bài toán mới hoặc xây dựng bài toán tương tự. Từ đó giúp học sinh có ý thức tìm tòi, nghiên cứu sâu một vấn đề Toán học. Xây dựng và phát huy niềm say mê, yêu thích Toán học. Từ đó khiến cho các em học sinh cảm thấy việc học môn Toán trở nên đơn giản hơn, giúp các em tự tin hơn, có hứng thú với môn học này hơn, giúp học sinh đạt kết quả cao trong học tập và thi cử.
9. 3 PHẦN 2. NỘI DUNG Chương 1. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Ở một số nước trên thế giới trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thống của SGK thường có hai phần riêng biệt: phần lý thuyết và tiếp sau đó là phần bài tập. Ngay trong phần lý thuyết, kiến thức lý thuyết (định nghĩa, định lý, công thức ) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập áp dụng. Dạy học kiến thức lý thuyết luôn đóng vai trò trung tâm. Cách dạy chủ yếu là truyền thụ tri thức SGK, giáo viên đưa ra bài toán tổng quát, phương pháp giải, rồi cho ví dụ áp dụng. Giải một bài toán quan trọng nhất là kết quả của bài toán đó. Việc tư duy và sáng tạo ra các bài toán mới được cho là chưa phù hợp với nhiều đối tượng học sinh trong một lớp. Phương pháp dạy học được sử dụng chủ yếu là phương pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ chưa nghĩ đến cách dạy như thế nào, phát triển bài toán đó ra sao? Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết đồng nhất bài toán với bài tập, và từ đó bó hẹp chức năng của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo mà chưa thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện, bồi dưỡng và phát triển năng lực sáng tạo trong giải toán cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi đã nhận ra hạn chế đó nên tôi đưa ra sáng kiến này nhằm giúp các em cải thiện được thực trạng này và có thật nhiều kĩ năng giải toán, khả năng tư duy, suy luận và sáng tạo các bài toán liên quan để đạt hiệu quả tốt nhất trong lúc học và thi. Để theo dõi được sự tiến bộ của học sinh, trước khi áp dụng sáng kiến này tôi đưa ra một bài kiểm tra để khảo sát thực trạng của học sinh trong hai lớp mình giảng dạy. Đề kiểm tra gồm có 2 câu hỏi trắc nghiệm làm trong khoảng thời gian 20 phút.
10. 4 Câu 1: Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Hàm số y f x 1 x2 2x đồng biến trên khoảng A. 1;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 2; 1 . Kết quả thống kê được cho bởi bảng sau: Sai Đúng Lớp Sỹ số Số lượng % Số lượng % 12A6 47 35 74.47 12 25.53 12A7 46 36 78.26 10 21.74 Câu 2: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau: x -1 0 1 2 f ' x -3 -1 Số điểm cực trị của hàm số y f 4x2 4x là A. 7. B. 3. C. 9. D. 5. Kết quả thống kê được cho bởi bảng sau: Sai Đúng Lớp Sỹ số Số lượng % Số lượng % 12A6 47 30 63.83 17 36.17 12A7 46 27 58.69 19 41.31
11. 5 Tổng hợp lại ta có kết quả thống kê như sau: Lớp Sai (%) Đúng (%) 12A6 69.15 30.85 12A7 68.48 31.52 Trong quá trình quan sát và tổng hợp kết quả kiểm tra tôi nhận thấy đa số các em khá lúng túng trong việc tìm lời giải bài toán, một số ít các em có định hướng lời giải nhưng quá trình thao tác vẫn còn rối, ít bạn tìm được đáp án chính xác của bài toán. Với suy nghĩ muốn giúp các em khắc phục được nhược điểm đó để kết quả học tập được tốt nhất nên tôi viết sáng kiến “Phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 từ bài toán sử dụng đạo hàm”
12. 6 Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Trước thực trạng trên, cần nhắc lại một số kiến thức về hàm số (đơn điệu; cực trị; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất); ứng dụng tích phân tính diện tích hình phằng và trang bị thêm cho học sinh hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán sử dụng đạo hàm. Liên kết các đơn vị kiến thức với nhau và vận dụng thành thạo chúng trong những bài toán cụ thể từ cơ bản đến nâng cao. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy, sáng tạo là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải nhiều các bài tập loại này sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán được nhanh, chính xác và hiệu quả. Sau đây ta sẽ xem lại một số lý thuyết liên quan, một số bài toán cơ bản, các ví dụ minh hoạ cùng với bài tập củng cố. 2.1. Một số kiến thức về hàm số, tích phân 2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b : + y f x đồng biến (tăng) trên a;b x1; x2 a;b , x1 x2 f x1 f x2 + y f x nghịch biến (giảm) trên a;b x1; x2 a;b , x1 x2 f x1 f x2 . Định lý: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a;b . + y f x đồng biến (tăng) trên a;b f ' x 0x a;b . Dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc khoảng a;b . + y f x nghịch biến (giảm) trên a;b f ' x 0x a;b . Dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc khoảng a;b . 2.1.2. Cực trị của hàm số Định nghĩa:
13. 7 Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a;b và điểm x0 a;b a) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 x x0 h; x0 h , x x0 thì ta nói hàm số f x đạt cực đại tại x0 . Khi đó: x0 gọi là điểm cực đại; f x0 gọi là giá trị cực đại của hàm y f x ; điểm x0; f x0 gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. b) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 x x0 h; x0 h , x x0 thì ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại x0 . Khi đó: x0 gọi là điểm cực tiểu; f x0 gọi là giá trị cực tiểu của hàm y f x ; điểm x0; f x0 gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Định lý 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0. Nếu hàm y f x đạt cực trị tại ' ' x0 thì f x0 0 . Nếu f x0 0 thì chưa chắc hàm y f x đạt cực trị tại x0. Định lý 2: Cho hàm số y f x liên tục trên trong a;b và x0 a;b . ' + Khi x qua x0 hàm y f x đổi dấu từ dương sang âm thì hàm y f x đạt cực đại tại x0 . ' + Khi x qua x0 hàm y f x đổi dấu từ âm sang dương thì hàm y f x đạt cực tiểu tại x0 . 2.1.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên D f x M ,x D + Nếu thì Maxf x M x0 D : f x0 M x D f x m,x D + Nếu thì Minf x m . x0 D : f x0 m x D
14. 8 Định lý: Cho hàm số y f x có đạo hàm trong a;b ' f x0 0 + Maxf x Max f a ;f b ;f x0  với a;b x0 a;b ' f x0 0 + Minf x Min f a ;f b ;f x0  với . a;b x0 a;b 2.1.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Định lý 1: Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, và hai đường thẳng x a, x b b là S f x dx . a Định lý 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f1 x , y f2 x , và hai đường b thẳng x a, x b là S f x f x dx . 1 2 a 2.2. Phát triển năng lực giải toán từ bài toán sử dụng đạo hàm 2.2.1. Bài toán gốc số 1 Trích đề thi thử THPTQG 2019 lần 3 trường THPT Chuyên Đại học Vinh:
15. 9 Câu 44: Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Hàm số y f x 1 x2 2x đồng biến trên khoảng A. 1;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 2; 1 . Giải: Ta có y' f ' x f ' x 1 2x 2 f ' x 1 2(x 1) Đặt t x 1 y' f ' t 2t y' 0 f ' t 2t Ta vẽ đường thẳng y 2t trên đồ thị đã cho được hình vẽ sau: Từ đồ thị trên ta suy ra đáp án cần tìm là A. Từ bài toán trên ta có thể phát triển một số bài toán mới theo các hướng tư duy sau: ❖Hướng 1: Bài toán mới theo hướng hỏi về sự đơn điệu, cực trị, so sánh giá trị, số nghiệm của phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm f x . ❖
16. 10 Bài 1. Cho hàm f x mà đồ thị hàm (H1) số y f ' x như hình (H1). Hàm f x đồng biến trong khoảng nào sau đây? A. 2;2 . B. 2;0 . C. 0;2 . D. 0;1 . Giải: Từ đồ thị của hàm f ' x ta có bảng biến thiên sau: x a -2 b 0 1 c 2 f ' x + 0 - - 0 + + + 0 - - f a f c f x f b Căn cứ vào bảng trên có đáp án là D. Nhận xét: Ta có thể lập luận nhanh để giải quyết bài 1 nhờ quan sát phần đồ thị của hàm f ' x nằm phía trên trục hoành rồi kết hợp với các đáp án đề bài đã cho để đưa ra kết quả mà không cần lập bảng biến thiên như lời giải trên. Bài 2. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình (H1). Hàm f x có mấy cực trị? A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Giải: Từ đồ thị của hàm f ' x thấy giá trị của hàm f ' x đổi dấu ba lần nên hàm số f x có ba cực trị. Vậy đáp án là C. Bài 3. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình (H1). Khẳng định nào sau đây đúng? A. f a f c f b . B. f c f a f b .
17. 11 C. f a f b f c . D. f c f b f a . Giải: Từ đồ thị của hàm f ' x ta có bảng biến thiên sau: x a -2 b 0 1 c 2 f ' x + 0 - - 0 + + + 0 - - f a f c f x f b Từ bảng biến thiên của f x ta có f a f b ; f c f b . Vậy f b là nhỏ nhất trong ba số f a , f b , f c . Ta cần so sánh f a và f c . Ta có: b b S f ' x dx f x f a f b 1 a a c c S f ' x dx f x f c f b 2 b b Do S1 S2 f a f c f a f c f b Vậy đáp án là A. Bài 4. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình (H1). Tìm m để phương trình f x m 1 có đúng một nghiệm trên  2;0. A. m f b 1 hoặc f 0 1 m f 2 1 B. m f b 1 hoặc f 2 1 m f 0 1 C. m f b 1 hoặc f 2 1 m f 0 1 D. m f b 1 hoặc f 0 1 m f 2 1 Giải: Ta có bảng biến thiên của hàm số f x trên  2;0:
18. 12 x -2 b 0 f ' x - 0 + f 2 f 0 f x f b Ta cần so sánh f 2 và f 0 . Ta có: b b S f ' x dx f x f 2 f b 1 2 2 0 0 S f ' x dx f x f 0 f b 2 b b Do S1 S2 f 2 f 0 f 2 f 0 f b Để phương trình f x m 1 có đúng một nghiệm trên  2;0 thì m 1 f b m f b 1 f 0 m 1 f 2 f 0 1 m f 2 1 Vậy đáp án là D. Bài 5. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình (H1). Tìm m để phương trình f x m có hai nghiệm trên  2;0 biết f 2 0 . A. f 0 m f b . B. f b m f 0 . C. f 2 m f b . D. f 2 m f 0 . Giải: Từ kết quả bài 4 ta có bảng biến thiên của hàm số f x trên  2;0: x -2 b 0 f ' x - 0 + f 2 f 0 f x f b f b f x f 0 f 2
19. 13 Để phương trình f x m có hai nghiệm trên  2;0 thì f 0 m f b . Vậy đáp án là A. Bài 6. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình (H1). Tìm m để bất phương trình f x m 1 0 có nghiệm đúng trên  2;0. A. m 1 f 2 . B. m 1 f 0 . C. m 1 f 2 . D. m 1 f 0 . Giải: Để bất phương trình f x m 1 0 có nghiệm đúng trên  2;0 thì Maxf x m 1.  2;0 Từ kết quả bài 4 được Maxf x f 2 f 2 m 1 m 1 f 2  2;0 Vậy đáp án là A. ❖Hướng 2: Bài toán mới theo hướng hỏi về sự đơn điệu, cực trị, so sánh giá trị, số nghiệm của phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm f u x . Bài 7. Cho hàm f x mà đồ thị (H2) hàm số y f ' x như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thuộc  2019;2019 để hàm y f x2 2 đồng biến ? A. 0. B. 1. C. 2020. D. 2019. Giải: Ta có y' 2x. f ' x2 2
20. 14 x 0 1 3 x 0 x2 2 2 2 ' 2 f x 2 0 ' ' 2 x 0 y 0 2x. f x 2 0 x 0 2 1 x 2 f ' x2 2 0 2 2 3 x 2 2 3 7 x 2 2 7 3 x ; x 0 2 2 Vậy đáp án là C. Bài 8. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình (H2). Hàm số y f x2 2 có bao nhiêu cực trị? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Giải: Ta có y' 2x. f ' x2 2 Bảng biến thiên: x 3,5 1,5 0 1,5 3,5 x - - - 0 + + + f ' x2 2 - 0 + 0 - - 0 + 0 - y' + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - y Vậy đáp án là C.
21. 15 Bài 9. Cho hàm f x mà đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Biết f 3 0 . Tìm m để h x f 2 x4 m có bốn nghiệm phân biệt? Giải: Ta có bảng biến thiên: x -3 -2 -1 0 1 2 f ' x + 0 - - 0 + + 0 - - f 3 f 1 f x f 1 4 ' 3 ' Đặt t 2 x , t 2 f t 4.x . f t Vì f t f 3 0 f t 0,t 2 f ' t 0 t 3 2 x4 3 x4 1 x2 1 x2 1 0 x ; 1  1; f ' t 0 3 t 2 3 2 x4 2 x 1;1 Cách 1: Đặt g x f 2 x4 ' 3 ' ' 2 4.x . f t . f t g ' x f t f t 2 f t Ta có bảng:
22. 16 x -1 0 1 g ' x - 0 + 0 - 0 + g x 4 ' ' 3 ' Cách 2. Đặt g x f 2 x g x f t 4.x . f t Ta có bảng: x -1 0 1 g ' x + 0 - 0 + 0 - g x Ta có g 1 g 1 f 2 1 f 3 0 Đặt h x f 2 x4 thì h x có bảng biến thiên: x -1 0 1 h x Từ đó ta có h x f 2 x4 m có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi g 1 m g 0 f 3 m f 0
23. 17 Bài 10. Cho y=f(x) liên tục trên R và đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Tính S là tổng các giá trị nguyên của m 0;2019 để g x f x m nghịch biến trên 2;0 . A. 2039184. B. 2039187. C. 2039183. D. 2039190. Giải: Có g ' x f ' x m ' ' 3 x m 1 3 m x 1 m g x 0 f x m 0 x m 1 x 1 m Để g x f x m nghịch biến trên 2;0 thì 3 m 2 m 1 1 m 0 m 3;4;5;6;7; ;2019. m 3 1 m 2 Suy ra S 2039187 Vậy đáp án là B. Bài 11. Cho 1 5 f 1; f 0.5 3; f 4 . Trên 2 4 0;0.5, hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm 2 5 119 g x f 3x x2 x3 x2 3x . 3 2 24 A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Giải: Có bảng biến thiên :
24. 18 x -3,5 -0,5 0 1 1,5 f ' x + 0 - 0 + 0 - f x 1 ' ' 2 2 ' 2 g x 3 2x f 3x x 2x 5x 3 3 2x f 3x x 1 x Vì khi x 0;0.5 thì 3x x2 0;1.25 nên f ' 3x x2 0. Hơn nữa khi x 0;0.5 thì 3 2x 0;1 x 0 . Vậy trên x 0;0.5 thì g ' x 0 từ đó suy ra hàm g x đồng biến. g x g 0.5 hay giá trị lớn nhất của g x trên 0;0.5 là g 0.5 0. Vậy đáp án là D. Bài 12. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ. 7 1 Biết f f 2 5; f 1 và 2 2 lim f x . Hỏi phương trình x f 1 2x 2 5 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Giải: T a có bảng biến thiên: x -3,5 -0,5 2 f ' x + 0 - 0 + 0 - 5 5 f x 1 f 1 2x 3 f t 3 f 1 2x 2 5 1 2 với t 1 2x . f 1 2x 7 f t 7 Với mỗi giá trị của t được một và chỉ một giá trị của x nên số nghiệm của (1) là số nghiệm của (2).
25. 19 Từ bảng biến thiên thấy phương trình f t 3 có 4 nghiệm thực phân biệt ; phương trình f t 7 có 2 nghiệm thực phân biệt. Suy ra (1) có tất cả 6 nghiệm thực phân biệt. Vậy đáp án là B. ❖Hướng 3. Bài toán theo hướng kết hợp với hàm số mũ, logarit, lượng giác. Bài 13. Cho f x có đạo hàm liên (H3) tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ 1 7 (H3). Biết f 1, f 0 . Tìm m 2 6 13 1 2 f 3 x f 2 x 7 f x để phương trình e 2 2 m có nghiệm trên  1;0 . Giải: Từ đồ thị của hàm f ' x ta có bảng biến thiên sau: x -3,5 -1 -0,5 0 2 f ' x + 0 - 0 + 0 - 7 f 2 f f x 2 1 0,5 1 Ta có S f ' x dx f x f 1 f 0,5 1 0,5 1 0 0 S f ' x dx f x f 0 f 0,5 2 0,5 0,5 Mà S2 S1 f 1 f 0 7 Đặt t f x ,t 1; 6 3 13 2 1 7 Xét hàm g t 2t t 7t . Có hàm g t nghịch biến trên 1; 2 2 6 g t g 1 2 eg t e2 m e2
26. 20 Vậy giá trị lớn nhất của m để phương trình có nghiệm trên  1;0 là e2. Bài 14. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ f 1 2x 1 (H3). Hỏi hàm g x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 2 A. 1;0 . B. 0;1 . C. 1;2 . D. 2;3 . Giải: f 1 2x f 1 2x ' 1 ' 1 ' 1 g x 2 .ln . f 1 2x . 2.ln 2. f 1 2x . 2 2 2 3 9 7 1 x ' ' 1 2x 4 4 g x 0 f 1 2x 0 2 2 1 1 2x 2 x 2 Vậy đáp án là C. Bài 15. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ 1 (H3). Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số g x log2 f 2x ? 2 A. Hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . D. Giá trị nhỏ nhất của hàm trên  1;0 là g 1 . 1 Giải: Điều kiện : f 2x 0 2 ' 1 2. f 2x 2 Ta có : g ' x 1 ln 2. f 2x 2 1 7 2x x 2 ' ' 1 2 2 g x 0 f 2x 0 1 3 2 1 1 x 2x 2 2 4 2 2 Có bảng biến thiên : x 1 3 -2 2 4 g ' x + 0 - 0 + 0 - g x
27. 21 Vậy đáp án là C. Bài 16. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ (H3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f 2sin2 x m 2019 có nghiệm ? Giải: Đặt t 2sin2 x, t  2;0. Để phương trình f 2sin2 x m 2019 có nghiệm thì phương trình f t m 2019 phải có nghiệm trên  2;0. 9 7 Từ đồ thị ta có : m 2019 2021,25 m 2017,25 4 4 m 2021; 2020; 2019; 2018 Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài. Bài 17. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ (H3). Tìm m để bất phương trình f 2sin x 2sin2 x 4sin x m nghiệm đúng với mọi x 0; . 3 A. m f 1 . B. m f 2 2. 2 3 C. m f 0 . D. m f 1 . 2 Giải: Đặt t 2sin x,t 0;2 t 2 g t f t 2t mt 0;2 m Maxg t 2 0;2 Có g ' t 0 f ' t t 2 Vẽ đường thẳng y t 2 thấy khi t 0;2 thì đồ thị của f ' t nằm trên đồ thị của y t 2 hay g ' t 0 . Suy ra hàm g t đồng biến trên 0;2. Maxg t g 2 f 2 2 m f 2 2 0;2 Vậy đáp án là B.
28. 22 Bài 18. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2cos x 6cos x m có nghiệm thuộc khoảng ; . Khi 2 2 đó S bằng: A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Giải: Đặt t 2cos x, t  2;0 . Để phương trình f 2cos x 6cos x m có nghiệm thuộc khoảng ; thì phương trình f t 3t m phải có nghiệm thuộc  2;0 . 2 2 Xét hai đường thẳng d1 : y 3t 4 và d2 : y 3t 2 . Khi đó để phương trình f t 3t m có nghiệm thuộc  2;0 thì đường thẳng y 3t m phải bị kép giữa hai đường thẳng d1 và d2 . Từ đó suy ra 2 m 4 m 3;m 4 . Vậy S=7 ❖ Hướng 4. Bài toán theo hướng hỏi về hàm g f x Bài 19. Cho f x có đạo hàm liên tục trên R, f ' x có đồ thị như hình vẽ (H3). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số g x 2 f 2 x 3 f x m 7 1 có đúng 11 điểm cực trị biết f f 2 1; f 0 và lim f x . 2 2 x 9 9 A. 0;5 B. 5;0 C. 5; D. ;5 8 8 Giải:
29. 23 x -3,5 -0,5 2 f ' x + 0 - 0 + 0 - 1 1 f x 0 2 ' ' Đặt h x 2 f x 3 f x m h x f x 4 f x 3 ' 7 1 f x 0 x  x  x 2 ' 2 2 h x 0 3 f x 7 4 x a  x b;a ,b 2 2 f ' x 0 3 f x ' 4 h x 0 f ' x 0 3 f x 4 Ta có bảng biến thiên : x 7 1 a 2 b 2 2 h' x - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + m 5 m 5 h x 9 9 m m m 8 8 Để hàm số g x có đúng 11 điểm cực trị thì m 0 m 5 5 m 0 Vậy đáp án là B. 2.2.2. Bài toán gốc số 2 Trích đề thi THPTQG 2019 BGD&ĐT – Mã đề 119: Câu 48: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau: x -1 0 1 2 f ' x -3 -1 Số điểm cực trị của hàm số y f 4x2 4x là
30. 24 A. 7. B. 3. C. 9. D. 5. Giải: Ta có bảng sau: x a -1 b 0 c 1 d 2 f ' x 0 0 0 0 -3 -1 ' ' 2 ' 2 Ta có y f 4x 4x 4 2x 1 f 4x 4x 2x 1 0 2x 1 0 y' 0 ' 2 4x2 4x m * f 4x 4x 0 với m bằng a hoặc b hoặc c hoặc d . Phương trình * 4x2 4x m 0 có 4 4m 0 m 1 1 (*) nhận x là nghiệm khi và chỉ khi m 1. Trường hợp này loại vì 2 mâu thuẫn giả thiết của bài toán. Vậy khi m a,a 1 thì (*) vô nghiệm; 1 Khi m b, 1 b 0 thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác x ; 2 1 Khi m c,0 c 1 thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác x và không 2 trùng với hai nghiệm của (*) khi m b; 1 Khi m d,d 1 thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác x và không trùng 2 với hai nghiệm của (*) khi m b;m c . Vậy phương trình y' 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt hay hàm số y f 4x2 4x có 7 cực trị. Từ bài toán trên ta có thể tạo một số bài toán mới theo các hướng tư duy sau:
31. 25 ❖ Hướng 1: Bài toán mới theo hướng hỏi về sự đơn điệu, cực trị, so sánh giá trị, số nghiệm của phương trình, bất phương trình. Bài 1. Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như bảng (B1) sau: x -1 0 1 2 f ' x -3 -1 Hàm f x có mấy cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Giải: Ta có bảng sau: Từ bảng trên x a -1 b 0 c 1 d ta suy ra 2 bảng biến f ' x thiên của f x như 0 0 0 0 sau: -3 -1 x a -1 b 0 c 1 d f ' x + 0 - - 0 + + 0 - - 0 + f x Từ bảng trên ta có hàm f x có 4 cực trị. Vậy đáp án là D. Bài 2. Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như bảng (B1). Số điểm cực trị của hàm số y f ' 4x2 4x là A. 7. B. 4. C. 9. D. 5. Giải: Ta có bảng sau: x -1 0 1