Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

1. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Tác giả :Nguyễn Thị Anh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác : Trường THPT Lý Thường Kiệt Tổ : Tốn - Tin Bắc Ninh, tháng 11 năm 2020 1 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
2. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ . Phương trình vơ tỷ là một đề tài lý thú vị của đại số, đã lơi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vơ tỷ mãi mãi vẫn cịn là đối tượng mà những người đam mê tốn học luơn tìm tịi học hỏi và phát triển tư duy. Mỗi loại bài tốn phương trình vơ tỷ cĩ những cách giải riêng phù hợp. Điều này cĩ tác dụng rèn luyện tư duy tốn học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chuyên đề ''Giải phương trình vơ tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ơn thi THPTQG. Trong chuyên đề này với thời gian 2 tiết cho phép tơi xin giới thiệu một 2 phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐẶT ẨN PHỤ Trong chuyên đề mỗi một phương pháp cĩ dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện. Tơi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của tốn học qua các phương trình vơ tỷ. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề khơng tránh khỏi những sai sĩt. Chúng tơi mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp quý báu từ các thầy cơ và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hồn thiện hơn! 2 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
3. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ PHẦN II- NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I. Mục tiêu : 1. Về kiến thức: +/ -Nắm vững các dạng và cách giải để làm các bài tập +/ Học sinh hiểu và vận dụng được giải các dạng tốn liên quan. 2. Về kỹ năng: +/ Biết vận dụng các pp giải tốn để giải bài tập 3. Thái độ: +/ Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch. +/ Tư duy các vấn đề logic, hệ thống. +/Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận,chính xác,chăm chỉ trong học tập 4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh: + Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập;tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sĩt và cách khắc phục sai sĩt. + Năng lực giải quyết vấn đề : Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập cĩ vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập. + Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhĩm biết quản lý nhĩm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhĩm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hồn thành được nhiệm vụ được giao. + Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhĩm; cĩ thái độ tơn trọng, lắng nghe, cĩ phản ứng tích cực trong giao tiếp. + Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhĩm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đĩng gĩp hồn thành nhiệm vụ của chủ đề. + Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nĩi và viết chính xác bằng ngơn ngữ Tốn học . + Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin và truyền thơng - Năng lực chuyên biệt: + Năng lực tự học: Đọc trước và nghiên cứu chủ đề qua nội dung bài trong sách giáo khoa lớp 10 ( Ban cơ bản). + Năng lực giải quyết vấn đề. + Năng lực sử dụng ngơn ngữ. 3 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
4. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ II. CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP KIẾN THỨC 1: PHƯƠNG PHÁP : NÂNG LUỸ THỪA 1/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1 Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa. phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân hoặc nhĩm nhỏ + Chuyển giao: Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 Bài 2: Giải phương trình: x 2x 3 0 HS : lên bảng trình bày GV : chính xác hĩa lời giải Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 (1) x 1 0 x 1 x 1 HD: (1) 2 2 x 3 x 1 (x 1) x 3x 0 x 3 Bài 2: Giải phương trình: x 2x 3 0 HD:Ta cĩ: x 2x 3 0 2x 3 x x 0 2 2x 3 x x 0 2 x 2x 3 0 x 0 x 1 x 3 x 3 Từ đĩ GV tổng quát hĩa các dạng 4 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
5. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 2/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1 A - LÝ THUYẾT f (x) 0 1/ f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x) 2/ 2 f (x) g (x) f (x) 0 3/ f (x) g(x) h(x) g(x) 0 f (x) g(x) 2 f (x).g(x) h(x) f (x) 0 * 4/ 2n f (x) 2n g(x) g(x) 0 (n N ) f (x) g(x) g(x) 0 2n f (x) g(x) (n N * ) 5/ 2n f (x) g (x) 6/ 2n 1 f (x) 2n 1 g(x) f (x) g(x) (n N * ) 7/ 2n 1 f (x) g(x) f (x) g 2n 1(x) (n N * ) B- BÀI TẬP Mục tiêu: HS sử dụng cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa. phương thức tổ chức:Hs nhĩm + Chuyển giao: Bài 3- bài 6 (mõi nhĩm trình bày 1 câu vào bảng phụ sau 7 phút nộp sp) + Các nhĩm nhận xét sp chéo nhau Bài 3: Giải phương trình: x 4 1 x 1 2x HD: Ta cĩ: x 4 1 x 1 2x x 4 1 2x 1 x 1 2x 0 1 x 0 x 4 1 2x 1 x 2 (1 2x)(1 x) 1 x 1 2 x 2 2x 1 0 2x 1 2x2 3x 1 2 2 (2x 1) 2x 3x 1 5 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
6. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 1 1 1 1 x x 2 2 2 2 x 0 x 0 2 x 7x 0 x 7 Bài 4: Giải phương trình: x 2 3 x2 4 0 x 2 0 x 2 HD:ĐK: 2 (1) x 4 0 x 2 3 (x 2)(x 2) 0 PT x 2. 1 3 x 2 0 x 2 0 x 2 17 (2) 1 3 x 2 0 x 9 Kết hợp (1) và (2) ta được:x = 2 Bài 5. Giải phương trình sau : 2 x 3 9x2 x 4 HD:Đk: x 3 phương trình tương đương : x 1 2 2 x 3 1 3x 1 3 x 9x 5 97 x 3 1 3x x 18 Bài 6: Giải phương trình sau: x 7 x 3 9 0 6 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
7. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 3/ HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP KT 1 Mục tiêu: Rèn luyện cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa. phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân làm ra giấy, sp được thu lại GV chấm sau + Chuyển giao: Bài 1-6 Bài 1:Giải các phương trình sau: 1/ x x 1 13 2/ 3 x 34 3 x 3 1 4/ 1 x x2 4 x 1 3/ x 3 5 x 2 Bài 2: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: x2 3x 2 2m x x2 Bài 3: Cho phương trình: x2 1 x m a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. KIẾN THỨC 2: PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ 1/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1 Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa. phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân hoặc nhĩm nhỏ + Chuyển giao: Ví dụ : 2x x 2 6x 2 12x 7 0 (1) Phân tích : Nếu bình phương 2 vế sẽ làm bài tốn phức tập lên vì vậy ta sẽ làm như sau: Đặt : t = 6x 2 12x 7 0 t2 = 6x2 - 12x + 7 7 t 2 2x x2 6 7 t 2 (1) t 0 -t2 + 6t + 7 = 0 6 t 7 6x2 12x 7 7 2 t 1(loại) x 2x 7 0 x 1 2 2 2/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH VÀ LUYỆN TẬP KT2 Mục tiêu: Giúp học sinh tiếp cận một vài pp đặt ẩn phụ để giải pt vơ tỷ. 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường ➢ Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải chúng ta cĩ thể đặt t f x và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương 7 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
8. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ trình chứa một biến t quan trọng hơn ta cĩ thể giải được phương trình đĩ theo t thì việc đặt phụ xem như “hồn tồn ” . Bài 1. Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2 HD:Điều kiện: x 1 Nhận xét. x x2 1. x x2 1 1 1 Đặt t x x2 1 thì phương trình cĩ dạng: t 2 t 1 t Thay vào tìm được x 1 Bài 2. Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x 5 4 HD:Điều kiện: x 5 t2 5 Đặt t 4x 5(t 0) thì x . Thay vào ta cĩ phương trình sau: 4 t4 10t2 25 6 2. (t2 5) 1 t t4 22t2 8t 27 0 16 4 (t2 2t 7)(t2 2t 11) 0 Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 1 2 2; t3,4 1 2 3 Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1 1 2 2,t3 1 2 3 Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 và x 2 3 BT tương tự Bài 3. Giải phương trình sau: x 5 x 1 6 HD:Điều kiện: 1 x 6 Đặt y x 1(y 0) thì phương trình trở thành: y2 y 5 5 y4 10y2 y 20 0 ( với 1 21 1 17 y 5) (y2 y 4)(y2 y 5) 0 y (loại), y 2 2 11 17 Từ đĩ ta tìm được các giá trị của x 2 2 Bài 4. Giải phương trình sau : x 2004 x 1 1 x HD: ĐK: 0 x 1 Đặt y 1 x thì phương trình trở thành: 2 1 y 2 y2 y 1002 0 y 1 x 0 1 Bài 5. Giải phương trình sau : x2 2x x 3x 1 x HD:Điều kiện: 1 x 0 8 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
9. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 1 1 Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x 2 x 3 x x 1 Đặt t x , ta giải được. x Bài 6. Giải phương trình : x2 3 x4 x2 2x 1 HD: x 0 khơng phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 1 x 3 x 2 x x 1 1 5 Đặt t= 3 x , Ta cĩ : t3 t 2 0 t 1 x x 2 Bài 7.Giải phương trình:3x2 21x 18 2 x2 7x 7 2 HD:Đặt y = x2 7x 7 ; y 0 5 y Phương trình cĩ dạng: 3y2 + 2y - 5 = 0 3 y 1 y 1 2 x 1 Với y = 1 x 7x 7 1 Là nghiệm của phương trình đã cho. x 6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đơi khi phương trình đối với t lại quá khĩ giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: ➢ Đặt u x ,v  x và tìm mối quan hệ giữa x và  x từ đĩ tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: x 3 35 x3 x 3 35 x3 30 HD:Đặt y 3 35 x3 x3 y3 35 xy(x y) 30 Khi đĩ phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3 3 , giải hệ x y 35 này ta tìm được (x; y) (2;3) (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3} Bài 2. Giải phương trình: 4 629 x 4 77 x 8 HD:ĐK: 77 x 629 u 4 629 x Đặt (u;v 0) 4 v 77 x u v 8,u 4 v 4 706 Đặt t = uv t 2 128t 1695 0 t 15 t 113 Với t = 15 x = 4 Với t = 113 x = 548 9 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
10. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ Bài 3. Giải phương trình: x3 x2 1 x3 x2 2 3 (1) HD:Với điều kiện: x3 x2 1 0 x3 x2 2 0 u x3 x2 1 Đặt Với v > u ≥ 0 3 2 v x x 2 Phương trình (1) trở thành u + v = 3 Ta cĩ hệ phương trình u v 3 2 2 v u 3 u v 3 u v 3 u 1 (v u)(v u) 3 v u 1 v 2 x3 x2 1 1 3 2 x x 2 2 x3 x2 1 1 3 2 x x 2 4 x3 x2 2 0 (x 1)(x2 2x 2) 0 x 1 (do x2 2x 2 0 x) Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là S = {1} Bài 4. Giải phương trình: 4 18 5x 4 64 5x 4 HD:Với điều kiện 18 x 18 5x 0 18 64 5 x (*) 64 64 5x 0 x 5 5 5 Đặt u 4 18 5x,v 4 64 5x , với u ≥ 0, v ≥ 0 u 4 18 5x Suy ra 4 v 64 5x Phương trình đã cho tương đương với hệ: u v 4 u v 4 4 4 2 2 2 2 u v 82 u v 2(uv) 82 v 0,v 0 v 0,v 0 Đặt A = u + v và P = u.v, ta cĩ: S 4 2 2 2 S 2P 2P 82 P 0, S 0 S 4 S 4 2 p 32P 87 0 P 3  P 29 P 0 P 0 (1) Với S = 4, P = 3 10 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
11. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ u và v là nghiệm của phương trình: 2 y 1 y 4y 3 0 y 3 u 1 u 3 Do đĩ ta cĩ:  v 3 v 1 4 18 5x 1 4 18 5x 3 Suy ra  4 4 64 5x 3 64 5x 1 18 5x 1 18 5x 81  64 5x 81 64 5x 1 17 63 x  x thoả mãn (*) 5 5 (2) Với S = 4, P = 29 khơng tồn tại u và v Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm là: 17 x 1 5 63 x 2 5 HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ : Với thời gian cho phépbài học của chúng ta dừng lại ở 2 phương pháp giả pt vơ tỷ. BÀI TẬP TỔNG HỢP ( BTVN) Bài 3: Giải các phương trình sau: x 1 2x 3 2 3(x2 x 1) (x x 1)2 3 x 2 x 1 3 x2 x 5 5 x2 48 4x 3 x2 35 x 3 4 x 9 x 2(x2 2) 5 x3 1 x 17 x2 x. 17 x2 9 4 3 10 3x x 2 3 x x. 3 x 10 6 5 27.x 5x 5 864 0 3x2 2x 2 x2 x 1 x Bài 10: Giải phương trình: a) x2 x2 2x 8 12 2x b) 2x2 5 2x2 3x 9 3x 3 c) x2 4x 6 2x2 8x 12 d) 3x2 15x 2 x2 5x 1 2 e) (x 4)(x 1) 3 x2 5x 2 6 f) 2x2 5x 2 2 2x2 5x 6 1 g) x2 3x 2 2 2x2 6x 2 2 h) x2 x2 11 31 Bài 11: Giải phương trình: 3 3 3 x3 1 x2 x 2 1 x2 1 1 x2 1 x 1 x 2 1 x2 11 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
12. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ x 35 x 1 x x 3 x 1 4 x 3 3 x2 1 12 x 3 1 x 2x 1 x2 2x2 1 0 64x6 112x4 56x2 7 2 1 x2 Bài 12: Cho phương trình: 1 x 8 x 1 x 8 x m a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm c) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm duy nhất 12 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
13. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 1)-Kết luận đối với học sinh. Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vơ tỉ đối với hoc sinh 10A8 tơi thấy : -Học sinh khơng ngại khi gặp dạng tốn giải phương trình vơ tỉ. -Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với mơn tốn đặc biệt là khi giải phương trình vơ tỉ. 2) Bài học kinh nghiệm. Từ những kết quả cụ thể trên tơi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như cho đồng nghiệp khi hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ như sau. - Phương pháp giải phương trình vơ tỉ khơng khĩ đối với học sinh khá giỏi, mà điều cần lưu ý đối với giáo viên dạy tốn là. + Cần phân dạng các phương trình vơ tỉ, và phương pháp giải cụ thể từng dạng với các ví dụ cụ thể. + Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế dễ hiểu và gợi mở, giúp kích thích ĩc sáng tạo của học sinh nhưng khơng quá cao siêu trừu tượng. + Hướng dẫn các em trước khi giải phương trình cần phân loại dạng tốn, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn tìm hiểu cách giải, phán đốn cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thơng minh ngắn gọn nhất. + Rèn kĩ năng giải phương trình vơ tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp các em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vơ tỉ nhất là ĐKXĐ. + Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng bài tập về nhà cĩ nội dụng tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải quyết các phương trình vơ tỉ ấy. - Nếu cĩ được những việc làm trên tơi tin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ khơng cịn lúng túng khi giải phương trình đặc biệt là pt vơ tỉ. 3) Kết luận. Trong chuyên đề này tơi đã cố gắng lựa chọn lượng kiến thức phù hợp với lượng thời gian cho phép. Do thời gian cĩ hạn và kinh nghiệm cịn hạn chế nên trong quá trình viết khĩ tránh được những sai sĩt trong cách trình bày cũng như hệ thống các bài tâp đưa ra cịn hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học tơi rất mong các thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp đĩng gĩp ý kiến để chuyên đề được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Hạp lĩnh , ngày 1 tháng 11 năm 2020 Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Anh 13 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
14. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ Tài liệu tham khảo: - Nâng cao và phát triển tốn - Tập 1 - Vũ Hữu Bình - Tài liệu chuyên tốn lớp tập 1 – Vũ Hữu Bình. - Các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh thành trong cả nước - Báo tốn học tuổi trẻ - Tốn sơ cấp - Các trang báo mạng về tốn. 14 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
15. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 15 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
16. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 16 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
17. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 17 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc
18. Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vơ tỉ 18 Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc