Tóm tắt lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn Toán 12

Nội dung tài liệu: Tóm tắt lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn Toán 12

1. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 2 1. Phƣơng trình bậc 2: ax +bx+c = 0 A B 0 với x x là nghiệm thì b. A.C B.D 1, 2 C D 0 2 11  ax + bx + c = a(x-x1)(x-x2); c. Với A.B 0 ta có A>B  với =b2- 4ac ( ’=b’2-ac với b’=b/2) AB b b' ' x x d. Với A, B ≥ 0, n N : A B A2n B 2n 1,2 2a 1,2 2a e. Với A, B và n N : A B A2n 1 B 2n 1  Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= c/a; f. A > B ≥ 0 AB  Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – c/a; 33  Định lý vi-et: g. A > B AB S= x1+ x2 = – b/a; P = x1.x2= c/a 3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c không âm:  B và B > C A > C ab Với 4 số thực bất kỳ ta có: b. A > B A + C > B + C cd c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC 2 2 2 2 2 (a b )(c d ) (ac bd) . d. Nếu C B AC < BC ab 2. Các hệ quả: Dấu “=” xảy ra cd AB a. ACBD b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số: CD Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều 1
2. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a b c 2 tan a  tan 2a = Với 6 số thực bất kỳ ta có: 2 x y z 1 tan a 2 2 2 2 2 2 2 2 cota 1 (a b c )(x y z ) (ax by cz) D  cot 2a = a b c 2cot a ấu “=” xảy ra x y z d. Công thức hạ bậc: 1 cos 2a c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức  cos2a = 2 Bunhiacopski 2 2 1 cos 2a ab22 ab  sin a = (1) ,  a,b Rvàx,y 0 2 x y x y 2 1 cos 2a 2  tan a = a2 b 2 c 2 a b c 1 cos 2a , (2) x y z x y z e. Công thức biến đổi tổng thành tích: ( a,b,c R và x, y,z 0) ab ab  cos a + cos b = 2 cos .cos 2 2 7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có:  cos a–cos b = 2sin . sin a. ABAB .  sin a + sin b=2 sin .cos b. ABAB . Dấu “=” xảy ra A.B ≥ 0.  sin a – sin b = 2 cos .sin sin ab CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC:  tanab tan a. Công thức cơ bản : cosab .cos sin22 a cos a 1 tan a.cot a 1 sin ba  cotab cot sin a 1 sinab .sin tan a 1 tan2 a cosa cos2 a sinx+cosx= 2 sin x = cos(x- ) 4 4 cosa 1 2 cot a 2 1 cot a sin a sin a sinx–cosx= sin(x– )= – cos b. Công thức cộng:  cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b f. Công thức biến đổi tích thành tổng  cos(a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b 1 cosa .cos b cos a b cos a b  sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b 2  sin(a-b)=sin a.cos b - cos a.sin b 1 tanab tan sina .sin b cos a b cos a b  tan(a+b) = 2 1 tanab .tan 1 tanab tan cosa .sin b sin a b sin a b  tan (a - b )= 2 1 tanab .tan 1 cotab .cot 1 sina .cos b sin a b sin a b  cot ( a + b) = 2 cotba cot cotab .cot 1  cot ( a – b )= PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC cotbb cot 1. Phƣơng trình LG cơ bản: c. Công thức nhân đôi:  sin 2a = 2 sin a.cos a  cos 2a = cos2a - sin2a = 2 cos2a-1 = 1-2sin2a 2
3. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2 2 2 * sin x sin * cos x cos Điều kiện để pt(3) có nghiệm là a b c x k2 x k2 4. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với x k2 x k2 sinx và cosx: * sin x m ( m 1) * cos x m ( m 1) 22 asin x bcos x c.sin x.cos x d 0 (1) x arcsin m k2 x arccos m k2 x arcsin m k2 x arccos m k2 * Với cosx = 0: ta kiểm tra x k , k Z 2 * sinu(x) sinv(x) * cos u(x) cos v(x) có phải là nghiệm của pt (1) không. 2 u(x) v(x) k2 u(x) v(x) k2 * Với cosx 0: chia 2 vế pt (1) cho cos x ta được pt: a tan22 x b c tan x d(1 tan x) 0 u(x) v(x) k2 u(x) v(x) k2 2 * sin x 0 x k Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì sin x =1 * cos x 0 x k 2 * sin x 1 x k2 5. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và * cos x 1 x k2 2 cosx: * cos x 1 x k2 * sin x 1 x k2 a. Dạng của phương trình đối xứng: 2 a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) * tan x tan * cot x cot b. Dạng tương tự: xk xk a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP: * tan x m * cot x m x arctan m k x arccot m k Giải (1): Đặt t sin x cos x 2 sin(x ) 4 * tanu(x) tanv(x) (1) * cot u(x) cot v(x) (1) 2 t 2 và t2 1 2sin x.cosx ÐK : cos u(x) 0 ÐK : sin u(x) 0 Giải (2): Đặt t = sin x cos x 2 sin(x ) (1) u(x) v(x) k (1) u(x) v(x) k 4 trong đó k Z 2 t 2 và t2 1 2sin x.cosx 2. Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH lƣợng giác. 2 HỢP - TỔ HỢP asin x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1 t 1) 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể 2 acos x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1 t 1) được thực hiện theo một trong k phương án 2 atan x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) A , A , , A . Mỗi phương án A (i = 1, 2, 2 1 2 k i acot x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx) , k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + + nk 3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cách. cosx: asinx + bcosx = c (1) với a22 b 0 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A * Chia hai vế pt(1) cho ab22 ta được: bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak. Mỗi a b c công đoạn Ai (i = 1, 2, , k) có ni cách sin x cos x thực hiện. Khi đó công việc A có thể được a2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 thực hiện bởi n1. n2 nk cách. (2) Lưu ý: * Ta xác định [0;2 ) sao cho: * Khi thực hiện một công việc, có nhiều ab phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện sin , cos 2 2 2 2 được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc a b a b cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng Khi đó ta được phương trình: phương án) ta được số cách thực hiện công c sin sin x cos cos x việc. ab22 * Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua c nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy cos(x ) (3) tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho ab22 3
4. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn từng bước) ta được số cách thực hiện công - Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. việc. k n k k - Số hạng thứ k + 1 là Cn a b 3. Hoán vị. - Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi theo tính chất CCk n k sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta nn được một hoán vị các phần tử của tập A. - Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán luôn bằng n. vị của n phần tử) 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: n 0 1 2 2 n n b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: (1 x) Cn C n x C n x C n x n 0 1 2 2 n n n Pn n! n(n 1)(n 2) 2.1 (1 x) Cn C n x C n x ( 1) C n x 4. Chỉnh hợp. (x 1)n C 0 x n C 1 x n 1 C 2 x n 2 C n a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số n n n n n n 0 1 2 n nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử 2 (1 1) Cn C n C n C n của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta 0 (1 1)n C 0 C 1 C 2 ( 1) n C n được một chỉnh hợp chập k của n phần tử n n n n của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của XÁC SUẤT n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) k n! An n(n 1)(n 2) (n k 1) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A (n k)! * Nếu A  B =  thì n(AB) = n(A) + n(B) * Nếu A  B ≠  thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số 1. Phép thử và không gian mẫu. nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con * Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp động mà: chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là - Kết quả của nó không thể dự đoán trước tổ hợp chập k của A) được. b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết Ak n! là: Ck n quả có thể xảy ra của hành động đó. n k! k!(n k)! * Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của Chú ý: APn một phép thử T được gọi là KGM của T và kí nn hiệu là  . Quy ước: 0! 1 ; A0 1 ; C0 1 n n 2. Biến cố. n! - Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến Với quy ước này ta có: Ak ; n cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy (n k)! thuộc vào kết quả của T. k n! Cn đúng với 0 k n - Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra (n k)!k! được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. * Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra k n k Tính chất 1. Cnn C (0 k n) khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): tập . k k k 1 * Biến cố không thể là biến cố không bao Cn 1 C n C n (1 k n) giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập  NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: 3. Xác suất. n 0n 1n1 2n22 knkk (a b) Can Ca n bCa n b Ca n b n( A ) * Xác suất của biến cố A là: P( A ) n 1 n 1 n n C nn ab Cb (1) n( ) n * Chú ý: 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P() = 1, P() = 0 (a b)n C k a n k b k  n k0 Nhận xét: 4
5. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu cố: “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu AB được gọi 1 u' (tanx)’ = (tanu)’ = là hợp của hai biến cố A và B. cos2 x cos2 u Ta có: A  B   1 u' (cotx)’ = (cotu)’ = b. Biến cố xung khắc. sin2 x sin2 u - Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B (ex)’ = ex (eu)’ = u’eu này được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy (ax)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna ra thì biến cố kia không xảy ra. Vậy: AB =  1 u' c. Biến cố đối. (lnx)’ = (lnu)’ = x u - Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không 1 u' A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của (logax)’ = (logau)’ = x ln a uln a biến cố A. Ta nói A và là hai biến cố đối nhau. - Ta có: A \ A P( A) 1 P( A) II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM và BÀI Lưu ý: Nếu hai biến cố đối nhau thì xung khắc. TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT d. Biến cố giao. HÀM SỐ : - Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A và B 1. Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt) cùng xảy ra” , kí hiệu AB (hay AB) được gọi @ Loại 1: Pttt tại M(x0,y0) (C) : y = f(x) là giao của hai biến cố A và B. Tính : y’= e. Hai biến cố độc lập. y’(x0)= * Hai biến cố được gọi là ĐỘC LẬP với nhau pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 nếu việc xay ra hay không xảy ra của biến cố @ Loại 2: Pttt có hệ số góc k cho trước. này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của  Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm. biến cố kia.  Tính f’(x) * Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau  Giải phương trình f’(xo) = k => xo, yo.  Viết pttt: y = k(x-x ) + y thì: AvàB ;BvàA;A vàB cũng là hai 0 0 Chú ý : biến cố độc lập. pttt // y = ax+ b có hệ số góc k = a f. Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc. pttt  y = ax+ b có hệ số góc k = -1/a. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì : P(AB) = P(A) + P(B). @ Loại 3: Pttt của đồ thị hàm số (C): y= f(x) g. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập : biết tt qua M(x0,y0) Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau  Ptđt d qua M có hệ số góc k là: thì : P(A.B) = P(A).P(B) y = k(x-x0)+ y0  Điều kiện tiếp xúc : ĐẠO HÀM : f (x) k(x x0 ) y0 (1) 1. Qui Tắc: Hệ pt có nghiệm 1. (u v)’ = u’ v’ f '(x) k (2) 2. (u.v)’ = u’v + v’u Giải hệ: thay (2) vào (1) Giải pt này tìm ' u u'v v'u được x. Thay vào (2) ta được k thế vào pttt 3. d ở trên. v v2 4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2. Giao điểm của 2 đƣờng: Cho y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) 2. Công thức: + Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm (xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’ của (C ) và (C ) ' ' 1 2 11 1u' + Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm x x2 u u2 f(x,m)=0 dựa vào đồ thị:  Biến đổi về dạng f(x)=g(m) 1 u' ( x )' ( u)'  Đặt y = f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) 2x 2u là đt //Ox. (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu 5
6. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số: vào đồ thị.(chú ý đến giá trị CT và Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm CT : CĐ) 1/ Quy tắc 1: f (x) g(x)  B1: Tìm tập xác định D + Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: f '(x) g' (x)  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Tìm các điểm x thoả mãn điều có nghiệm. Giải hệ, tìm hoành độ tiếp điểm x i o kiện: x D và là nghiệm của y' hoặc i làm cho y' không xác định. 3. Đơn điệu:  B4: Lập bảng biến thiên của hàm số Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến trên D và kết luận. (tính đơn điệu hay sự biến thiên) của hàm số 2/ Quy tắc 2: PP : Cho hàm số y = f(x)  B1: Tìm tập xác định D + Tìm TXĐ của hàm số  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x) + Tính y’ ( hay f’(x) ) và giải pt: y’ = 0  B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các + Lập BBT nghiệm x + Kết luận i  B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f ’’(x) ; tính f''(x ) và nhận xét dấu : Đặc biệt: f(x) = ax2 + bx + c. Ta có i + Nếu f ’’(x0) 0 thì hàm số f đạt cực a 0 đại tại điểm x0 và yCT = f(x0) + f (x) 0 x R 0 Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo  Tìm y’ Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hàm số đơn  ycbt → y’(xo) = 0( 1) điệu trên khoảng cho trƣớc  giải (1) = > tìm m = mo PP :  Thöû laïi: + f(x) đồng biến trên D f ’(x) ≥ 0 , x D Cách 1: (Sử dụng BBT) Với m = mo, ta lập + f(x) nghịch biến trên D f ’(x) ≤ 0 ,x BBT, nhận xét cực trị từ đó kết luận D Cách 2: (Sử dụng y”).Tìm y”, với m = mo, (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn ta tính y’’(xo). điểm trên miền D) Nếu y’’(xo) > 0 thì hs ñaït cöïc tieåu Nếu y’’(xo) 0 (Chú ý: nếu ycbt là tìm m để hàm số có cực trị thì xét thêm trường hợp a = 0) - Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xđ y' 0,  x D  ad – cb <0 Loại 2: hàm bậc 4 có 3 cực trị + Tìm D vaø y’ 2 4. Cực trị: + y’= 0 (x x0 )(ax bx c) 0 6
7. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x x0 Caùc khảng ñoàng bieán , nghòch bieán , ñieåm cöïc ñaïi , ñieåm cöïc ax2 bx c 0 tieåu . + ycbt y’= 0 coù 3 nghieäm vaø y’ y’’ = . . . . . ñoåi daáu khi qua nghieäm y’’= 0 x = ? 2 ax bx c 0 coù 2 no pb khác xo 0 * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: a 0 → giaûi, tìm m y y'.() p x Ax B . g(x ) 0 - Đường thẳng y = Ax + B là đường thẳng đi 0 qua 2 điểm cực trị. - Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá Loại 3: Hàm trị cực trị trái dấu. ax2 bx c  - Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm pb cách đều nhau số yx  dx e dx e ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc có 2 cực trị y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn I thuộc Ox. e + Tập xác định D=R\ d * Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng + Tính phƣơng: - Đt nhận Oy làm trục đối xứng.  .d mx2 nx p y’= - Hàm số có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 dx e 2 dx e 2 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0) + Để hàm số có cực đại và cực tiểu - Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb /  y = 0 có hai nghiệm pb thuộc D >0; P>0; S>0. 2  phương trình g(x)= mx + nx + p = 0 có hai - Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb lập thành csc 2 y' 0 >0; P>0; S>0; t = 9t ( t = x ) sử dụng đlý e 2 1 nghiệm phân biệt khác e Vi-et. d g( ) 0 ax b d 2 . Hàm nhất biến y cx d d 5. GTLN, GTNN: Tập xác định D=R\ c a. Trên (a,b) ad bc Tính y' Tính y’ 2 cx d Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) TCĐ x d KL: max yy CD , min yy CT c ab; ab; ( limy ( ) limy ( ) ) b. Trên [a;b] c c x x Tính y’ d d a Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 a; b TCN y a ( lim y ) c x c Tính y (x ) , y(a) , y (b) 0 Bảng biến thiên Chọn số lớn nhất M ,KL: max yM ab;  Điểm đặc biệt (4điểm)- Tìm giao điểm với Chọn số nhỏ nhất m , KL: min ym trục Ox, Oy ab;  Đồ thị (nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm III. KHẢO SÁT HÀM SỐ: đối xứng) 3 2 1. Hàm bậc ba y = ax +bx +cx+d 4 2 và Hàm trùng phƣơng y = ax +bx +c: 3. Hàm hữu tỷ ( nâng cao ): Tập xác định: D = R Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 x = ? Tập xác định D = R\ limy ? limy ? x x Bảng biến thiên: Tính y’= 7
8. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn y' = 0 tìm 2 cực trị (hoặc không có.) 1/ Tập xác định: D = R e (axx )' a ln a . (e x )' e x TCĐ x ( limy ( ) , 2/ Đạo hàm: , và , e u u d x Hàm hợp: (a )' u'.ln a.a d limy ( ) ) (eu )' u'.eu e x d 3/ Tính chất: a > 1: hsố tăng TCX y x  0 1: hsố tăng 2 0 0 , a 1 ) IV. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT: b 0 : pt vô nghiệm 1. Công thức lũy thừa: x b>0 : a b x loga b Với a>0, b>0; m, n R ta có: Một số phƣơng pháp giải: a n anam =an+m ; a n m ; a m 1, Đưa về cùng cơ số: f(x) g(x) 1 n 0 1 1 a = a f(x) = g(x) ( a>0, a 1) ( =a ; a =1; a = ); an a 2, Đặt ẩn phụ: n n 2xx n m nm n n n aa  Aa. B . a C 0 (a ) =a ; (ab) =a b ; ; x b bn Đặt t = a , đk t>0 22x x x m  A. a B .( ab ) C . b 0. n n m a a . x a Đặt t , đk t>0 b 2. Công thức logarit: x x x  A. a B . b C 0 [( ab ) 1] c logab = c a = b (0 0) x x 1 Với 0 0; R: Đặt t = a , đk t>0, b 1 2 t log (x x ) = log x +log x ; a 1 2 a 1 a 2 3. Phương pháp logarit hóa. x1 loga = logax1 logax2; 4, Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm x2 số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến, a loga x x ; log x = log x; a a nghịch biến và đồ thị của hàm số. 1 x loga x loga x ; (logaa =x); Dạng cơ bản: loga xb (a> 0 , a 1) logb x 1 Điều kiện : x > 0 logax= ; (logab= ) logb a logb a log x b x ab log x log a a logba.logax=logbx; a b =x b . Một số phƣơng pháp giải: 3. Hàm số mũ và hàm số logarit Đưa về cùng cơ số: x  Hàm số mũ: y = a loga f(x) = loga g(x) f(x) = g(x) ( điều kiện f(x) > 0 hay g(x) > 0) 8
9. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Các phương pháp còn lại như ptrình mũ a x 5/ a x dx C ln a 5. Bất PT mũ – logarit: 6 / cosxdx sin x C Dạng ax > b ( a> 0 , ) 7 / sin xdx cosx C b 0 : Bpt có tập nghiệm R 1 8 /dx (1 tan2 x ) dx tan x C b>0 : cos2 x x  a b x loga b , khi a>1 1 9 /dx (1 cot2 x ) dx cot x C x 2  a b x loga b , khi 0 b ( a> 0 , , x>0 ) dx1 x a a 10/ ln Ca , 0 x22 a2 a x a  log x b x ab , khi a >1 a 11/ tanxdx ln cos x C b  log x b x a , khi 0 1 thì: a ( 1)  af()() x a g x f()() x g x dx 1 2 / ln ax b C ïì f()() x> g x ax b a a 1  logf ( x )>Û log g ( x ) íï 1 aaï gx( )> 0 3/ eax b dx e ax b C îï a 1 4 / cos(ax b ) dx sin( ax b ) C ▪ Nếu 0 a f(x) Û log g ( x ) í 6/ C ï fx( )> 0 2 îï (ax b ) a .( ax b ) 1 7 /dx (1 tan2 ( ax b )) dx cos2 (ax b ) 1 V. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: tan(ax b ) C 1.Định nghĩa: F(x) được gọi là nguyên hàm a 1 của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) 8 /dx (1 cot2 ( ax b )) dx / sin2 (ax b ) F x f x , x a;b 1 Nguyên hàm của hàm số sơ cấp: cot(ax b ) C a 1/ dx x C 2. Các phƣơng pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích 1 2 / x dx x 1 C phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân 1 phân phối hoặc chia đa thức. 1 Phƣơng pháp đổi biến số : 3/ dx ln x C x b A f  x . / x .d x 4 / e x dx e x C a  Đặt : t = x dt / x .d x x b t b  Đổi cận: x a t a 9
10. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b ( Trong đó P(x) là hàm đa thức ) b  Do đó: A f t .dt F t   a PP : a Đặt u = P(x) du = P’(x).dx Các dạng đặc biệt cơ bản: a dx x 1. e I 2 2 a x 0 dv = Sinx .dx v = Đặt: x= a.tant t Cosx 2 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần a 2 dx 2 . dt a .(1 tan t ). dt b cos t b A = u.va v.du Đổi cận a a b 2 2 2. J a x .dx Loại 2: B = P(x).Ln(ax b).dx 0 a PP: Đặt x asin t t 22 a Đặt u = Ln(ax+b) du .dx dx = a.cost dt ax b Đổi cận dv = P(x).dx v = Áp dụng công thức tích phân từng phần : MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN THƯỜNG GẶP: Dạng nguyên hàm Cách đặt biến số B = cần tìm f sin x cos xdx t sin x  t m sin x n 3. Diện tích hình phẳng: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : f cos x sin xdx t cos x  t m cos x n y = f(x), trục Ox và hai đường x= a; x= b 1 t ln x  t m ln x n PP: f ln x dx x DTHP cần tìm là: 1 t tan x  t m tan x n b f tan x dx cos2 x S f (x).dx (a < b) a 1 t cot x  t m cot x n Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là f cot x dx sin2 x nghiệm của phương trình: f(x) = 0 kk 1 kk f x x dx t x  t mx m  Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có xx xx nghiệm không thuộc đoạn a;b thì: f e e dx t e  t me n b Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có S f (x).dx a chứa dấu căn n thì thường ta đặt : t n  Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn . Giả sử x = , x = thì Phƣơng pháp tính tích phân từng phần  b S f (x).dx f (x).dx f (x).dx Loại 1: a  x b e  b S f (x).dx + f (x).dx + f (x).dx A= P(x). Sinx .dx  a Cosx a 10
11. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):  Số phức liên hợp của z = a + bi là y =f(x) và trục hoành: z a bi PP : z z ; z z' z z' ; z.z' z.z' ; HĐGĐ của (C) và trục hoành là nghiệm zz x a của phương trình: f(x) = 0 zz x b z 0 với mọi z , zz 00 . b b S f (x).dx f (x).dx z z a a zz ; zz z z ; ; zz c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường z z z z (C1): y = f(x) và (C ): y = g(x) và hai đường x 2 z là số thực z z ; z là số ảo z z = a; x = b: PP: 2. Các phép toán : DTHP cần tìm là: b ac S f (x) g(x).dx  a+ bi = c + di a bd HĐGĐ của hai đường (C1) và (C2)  (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0  (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i Lưu ý:  (a + bi)(c + di) + Dạng 2 và dạng 3 lập luận giống a bi a bi c di dạng 1. c di cd22 + Có thể dùng phương pháp đồ thị để 1 2 3 4 tính diện tích hình phẳng  i i, i 1, i i , i 1. 4n 4 n 1 4 n 2 4 n 3 i 1, i i , i 1, i i . 4. Thể tích vật thể: 2 2 a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; 12 ii ; 12 ii . trục Ox và y = f(x) liên tục trên đoạn . Khi (H) quay quanh trục Ox tạo ra vật thể 3. Căn bậc hai của số phức: z = a + bi có thể tích: (a,b R) ( nâng cao) 2 b + Đặt w = x + y i. V . f (x) .dx   2 2 a 2 x y a Vì w = z nên 2xy b b) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục Oy và x = g(x) liên tục trên đoạn + Giải hệ, tìm x và y . Khi (H) quay quanh trục Oy tạo ra Lƣu ý : a;b vật thể có thể tích: Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ia 2 b V . g(y) .dy .   4. Giải phƣơng trình bậc hai : a 2 a) ax + bx + c = 0 ( a 0 ; a,, b c R ) VI. SỐ PHỨC: Đặt b2 4 ac 1. Các khái niệm :  Số i : i2 = -1  Số phức dạng : z = a + bi ; a,b R  Nếu = 0 thì phương trình có một ( a : phần thực, b : phần ảo ) b nghiệm kép (thực) : x =  Modun của số phức : z a22 b 2a 11
12. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Nếu > 0 thì phương trình có hai b nghiệm thực : x 1,2 2a  Nếu < 0 thì phương trình có hai bi nghiệm phức : x 1,2 2a  Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az2 bz c 0 ( a, b , c , a 0 ) có hai nghiệm zz12, thì : b c zz và zz . 12 a 12 a  Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số zz12, có tổng z12 z S và z12 z P thì zz12, là nghiệm của phương trình : z2 Sz P 0. b) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ; abc,, ) ( nâng cao)  Tính ∆  Tìm căn bậc hai của ∆ b   z (với  là một căn 1,2 2a bậc hai của ∆) 5. Dạng lƣợng giác của số phức (nâng cao) a/ Argumen: là góc sao cho: a cos r 2 2 với r a b b sin r b/ Dạng lượng giác: z r(cos i.sin ) c/ Nhân, chia dưới dạng lượng giác: z .z r .r [cos( ) i.sin( )] 1 2 1 2 1 2 1 2 z1 r1 [cos( 1 2 ) i.sin( 1 2 )] z2 r2 d/ Công thức Moivre: n n [r(cos isin )] r (cosn isin n ) e/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: r cos isin 2 2 12
13. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn TÓM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC 1. sin = (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AB AC A 3. tan = (ĐỐI chia KỀ) 4. cot = (KỀ chia ĐỐI) AC AB II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG B C H 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) => AB2 = BC2 - AC2 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC 1 1 1 4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. AH2 AB 2 AC 2 III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c IV. ĐỊNH LÍ SIN 2R A sin A sin B sin C V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC M N AM AN MN AM AN a) ; b) B C AB AC BC MB NC VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường: 1 a) S = ah b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông) 2 c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a: a3 a32 a) Đường cao: h = ; b) S = 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông: 1 a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 2 b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2 A 5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o 60o 30o B C 13 Lý thuyết Hình Học 12
14. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a3 a32 b) BC = 2AB c) AC = d) S = 2 8 6. Tam giác cân: 1 a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 1 8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2 9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11. Đường tròn: a) C = 2 R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC A 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm N 2 1 M b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN 3 3 G 2. Đường cao: Giao điểm của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm B C 3. Đường trung trực: P Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều . Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy . Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp ( ): a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp ( ) d a; d b Tức là: ab d  ( ) a,b ()()   b) ( )  (  ) a d ( ) a d  (  ) 14 Lý thuyết Hình Học 12
15. Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn c) Đt d vuông góc với mp ( ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp ( ) 4. Góc giữa đt d và mp ( ): d d cắt ( ) tại O và A d A AH ( ) Nếu thì góc giữa d và ( ) là hay AOHˆ = H() O d' H 5. Góc giữa 2 mp ( ) và mp ( ): ( )  (  ) AB  Nếu FM AB;EM AB F EM ( ),FM  (  ) thì góc giữa ( ) và ( ) là hay EMFˆ = E B M 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): Nếu AH  ( ) thì d(A, ( )) = AH (với H ( )) A IX. KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 1 2. Thể tích khối chóp: V = Bh (diện tích đáy là đa giác) 3 V SA SB SC 3. Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C VS.ABC SA SB SC 4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 1 5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) 3 6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = R 2 h ( h: chiều cao khối trụ) 8. Diện tích của mặt cầu: S = 4 (R: bk mặt cầu ) 4 9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = R 3 (R: bán kính mặt cầu) 3 PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 15 Lý thuyết Hình Học 12